시에르핀스키 공간

일반위상수학에서 시에르핀스키 공간(Sierpiński空間, 영어: Sierpiński space)은 두 개의 점만을 갖고, 그 가운데 하나만이 닫힌 점인 위상 공간이다.

정의

두 개의 점을 갖는 집합

$S=\{0,1\}$

위에 다음과 같은 위상을 부여하자.

${\mathcal {T}}=\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}$

그렇다면 $(S,{\mathcal {T}})$는 위상 공간을 이루며, 시에르핀스키 공간이라고 한다.

성질

시에르핀스키 공간은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

• 콜모고로프 공간이다.
• T1 공간이 아니다.
• 정칙 공간이 아니다. (따라서 거리화 가능 공간이 아니다.)
• 완비 정규 공간이다.
• 완전 정규 공간이 아니다.
• 경로 연결 공간이다. (따라서 연결 공간이다.)
• 기본군을 비롯한 모든 호모토피 군이 자명군이다.
• 이산 값매김환의 스펙트럼과 위상동형이다. 이 경우, 닫힌 점 0은 유일한 극대 아이디얼에, 일반점 1은 영 아이디얼에 대응한다.

참고 문헌

• Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Sierpinski space”. 《nLab》 (영어). 
• “Sierpiński space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Definition: Sierpiński space”. 《nLab》 (영어).