이산 값매김환

가환대수학에서 이산 값매김환(離散-環, 영어: discrete valuation ring, 약자 DVR) 또는 이산 부치환(離散付値環)은 정확히 하나의 0이 아닌 극대 아이디얼을 갖는 주 아이디얼 정역이다. 대수기하학적으로, 대수 곡선의 비특이점에서의 국소환을 나타낸다. 그 분수체의 원소는 ‘유리형 함수’의 ‘싹’에 해당하며, 원점(유일한 닫힌 점)에서의 ‘극점’ (또는 ‘영점’)의 ‘차수’를 정의할 수 있다. 이 차수는 정수 값이며, 이산 값매김환의 값매김이라고 한다.

정의

$R$가 정역이라고 하자. 편의상, $R$가 만족시킬 수 있는 다음 조건들을 정의하자.

• (N) 뇌터 환이다.
• (LR): 국소환이다.
• (Ded): 데데킨트 정역이다. (이는 (N)을 함의한다.)
• (UFD): 유일 인수 분해 정역이다. ((Ded) + (UFD)는 주 아이디얼 정역이라는 것과 같다. 또한, (Ded) + (UFD) + (NF) = (UFD) + (1D)이다.)
• (NF) 체가 아니다.
• (1D) 크룰 차원이 1이다. (이는 (NF)를 함의한다.)
• (VR) 값매김환이다. (이는 (L)을 함의한다.)

그렇다면, 정역에 대하여 다음 조건들은 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 이산 값매김환이라고 한다.

• (VR) + 값군이 $\mathbb {Z}$와 동형이다.^:78
• (VR) + (N) + (NF)^{:78, Theorem 11.1(3)}
• (L) + (Ded) + (NF)
• (L) + (N) + (NF) + 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.^{:79, Theorem 11.2(3)}
• (L) + (N) + (1D) + 정수적으로 닫힌 정역이다.^{:79, Theorem 11.2(4)}
• (1D) + 정칙 국소환이다.^:106
• (UFD) + (Ded) + 유일한 0이 아닌 소 아이디얼을 가진다.
• (UFD) + (Ded) + 스펙트럼이 시에르핀스키 공간과 위상 동형이다.
• (UFD) + (가역원과의 곱에 대한) 유일한 기약원 동치류를 가진다.

성질

함의 관계

모든 이산 값매김환은 유클리드 정역을 이룬다.

연산에 대한 닫힘

이산 값매김환 $(D,{\mathfrak {m}},\kappa )$의 완비화

${\hat {D}}=\varprojlim _{n\to \infty }{\frac {D}{{\mathfrak {m}}^{n}}}$

역시 이산 값매김환이다.

원소의 구조

이산 값매김환 $(D,{\mathfrak {m}},\kappa )$의 원소 $t\in D$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원소를 균등화원(영어: uniformizing element)이라고 한다.

• $(t)={\mathfrak {m}}$이다. 즉, 유일한 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$은 $t$로 생성되는 주 아이디얼이다. (이산 값매김환은 주 아이디얼 정역이므로 이러한 원소는 항상 존재한다.)
• $t$는 $D$의 기약원이다. (즉, 가역원 또는 0이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없다. 이산 값매김환은 정역이므로 이 개념이 잘 정의된다.)

균등화원은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 균등화원 $t$의 경우, 임의의 $m,n\in \mathbb {N}$에 대하여

$\forall m,n\in \mathbb {N} \colon \left(m=n\iff t^{m}=t^{n}\right)$

이다. 즉, 균등화원의 서로 다른 자연수 지수의 거듭제곱은 항상 서로 다르다.

이산 값매김환 $(D,{\mathfrak {m}},\kappa )$의 균등화원 $t\in D$이 주어졌을 때, $D$의 모든 아이디얼과 모든 원소는 다음과 같이 표준적으로 분류된다.

• $D$ 속의 모든 아이디얼은 $(0)$이거나 또는 어떤 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 $(t^{n})$의 꼴이다. (여기서 물론 $(t^{0})=D$이다.)
• $D$ 속의 모든 0이 아닌 원소 $x\in D\setminus \{0\}$는 다음과 같이, 가역원과 $t$의 거듭제곱의 곱의 꼴로 유일하게 표현된다.

  $x=at^{\nu (x)}\qquad (a\in D^{\times })$

즉, 이산 값매김환의 곱셈 구조는 그 가역원군 $D^{\times }$으로서 완전히 결정된다. 물론, 가환환은 곱셈과 덧셈으로 정의되며, 환의 덧셈 구조는 이와 별개의 데이터이다.

대수 곡선의 비특이점의 국소환

이산 값매김환은 1차원 정칙 국소환이므로, 대수기하학에서 이산 값매김환은 대수 곡선 (1차원 스킴) $X$의 닫힌 비특이점 $x\in X$에서의 줄기 ${\mathcal {O}}_{X,x}$이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 경우는 다음과 같다. $k$가 대수적으로 닫힌 체라고 하고, $C$가 $k$ 위의 대수 곡선(1차원 대수다양체)이며, $x\in C$가 특이점이 아닌 닫힌 점이라고 하자. 그렇다면, 국소환 ${\mathcal {O}}_{C,x}$은 이산 값매김환이며, 포함 관계

$k\subsetneq {\mathcal {O}}_{C,x}\subsetneq {\mathcal {K}}(C)$

가 성립한다. 또한, $k$는 ${\mathcal {O}}_{C,x}$에서 값매김이 0 또는 $\infty$인 원소들로만 구성된다.

반대로, $k$가 대수적으로 닫힌 체이며, $D\supsetneq k$가 이산 값매김환이며, $k$의 원소들의 값매김이 0 또는 $\infty$라고 하자. 그렇다면 $D$는 유리 함수체 $\operatorname {Frac} D$를 갖는 어떤 $k$ 위의 대수 곡선의 특이점이 아닌 닫힌 점에서의 국소화이다.^{:42, Corollary I.6.6} 구체적으로, $a\in D\setminus k$라고 하고, 다항식환 $k[a]$의 $D$ 속에서의 정수적 폐포를 $B$라고 하자. 그렇다면, $B$는 데데킨트 정역이자 $K$ 위의 유한 생성 단위 결합 대수이며, 따라서 $\operatorname {Spec} B$는 $K$ 위의 아핀 대수 곡선이다. 또한, $D$의 극대 아이디얼을 ${\mathfrak {m}}$이라고 하면, ${\mathfrak {m}}\cap B$는 $\operatorname {Spec} B$의 극대 아이디얼이며, $\operatorname {Spec} B$의 ${\mathfrak {m}}\cap B$에서의 국소환은 $D$와 동형이다.

위상환의 위상

이산 값매김환 $(D,{\mathfrak {m}})$은 국소 가환환이므로 표준적으로 위상환을 이룬다. 이 위상과 호환되는 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.

$d(x,y)={\begin{cases}\exp(-\nu (x-y))&x\neq y\\0&x=y\end{cases}}$

여기서 $\nu \colon D\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$은 이산 값매김이다.

이 경우, 이산 값매김환 $(D,{\mathfrak {m}},\kappa )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $D$는 (위상환으로서) 콤팩트 공간이다.
• $D$는 완비 거리 공간이며, 그 잉여류체 $\kappa$는 유한체이다.

스킴 구조

이산 값매김환 $(D,{\mathfrak {m}},\kappa )$는 (국소환이므로) 유일한 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$을 가지며, (크룰 차원이 1이므로) 소 아이디얼은 두 개 $(0)$, ${\mathfrak {m}}$이다. 즉, 이산 값매김환의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} D$는 두 개의 점을 가진다. 그 가운데 ${\mathfrak {m}}$은 닫힌 점, $(0)$은 일반점이다. 특히, $\operatorname {Spec} D$는 위상 공간으로서 시에르핀스키 공간이다.

이 경우, 이산 값매김환 위의 두 표준적인 환 준동형

$D\twoheadrightarrow {\frac {D}{\mathfrak {m}}}=\kappa$

$D\hookrightarrow \operatorname {Frac} D=K$

은 각각 닫힌 점과 일반점에 대응되는 스킴 사상

$\operatorname {Spec} \kappa \to \operatorname {Spec} D$

$\operatorname {Spec} K\to \operatorname {Spec} D$

에 해당한다.

예

데데킨트 정역의, 0이 아닌 소 아이디얼에서의 국소화는 이산 값매김환이다. 특히, 대수적 수체의 대수적 정수환은 데데킨트 정역이므로, 대수적 정수환을 0이 아닌 소 아이디얼에서 국소화하여 이산 값매김환의 다양한 예를 얻을 수 있다. 예를 들어, 정수환의 0이 아닌 소 아이디얼 $(p)$에서의 국소화 $\mathbb {Z} _{(p)}$는 이산 값매김환이다.

대표적인 이산 값매김환의 예는 다음과 같다.

이산 값매김환 $D$	값매김 $v$	극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$	잉여류체 $D/{\mathfrak {m}}$	분수체 $\operatorname {Frac} D$
소수 $p$에 대한 $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}=\varprojlim ^{n\to \infty }\mathbb {Z} /(p^{n})$	$p^{n}\mapsto n,\;m\mapsto 0\;(p\nmid m)$	$(p)$	$\mathbb {F} _{p}$	$p$진수체 $\mathbb {Q} _{p}$
정수환의 국소화 $\mathbb {Z} _{(p)}=\{m/n\colon \gcd\{m,n\}=1,\;p\nmid n\}$	$p^{n}\mapsto n,\;m\mapsto 0\;(p\nmid m)$	$(p)$	$\mathbb {F} _{p}$	유리수체 $\mathbb {Q}$
체 $K$ 위의 형식적 멱급수환 $K[[x]]$	$x^{n}\mapsto n$	$(x)$	$K$	형식적 로랑 급수체 $K((x))$
국소화 $K[x]_{(x)}=\{p/q\colon p,q\in K[x],\;q(0)\neq 0\}$	$x^{n}\mapsto n$	$(x)$	$K$	유리 함수체 $K(x)$
수렴 거듭제곱 급수환 $\{p\in K[[x]]\colon \exists \epsilon >0\forall x\colon |x|<\epsilon \implies p(x)<\infty \},\,K=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$	$x^{n}\mapsto n$	$(x)$	$K$	원점 근방의 유리형 함수체

외부 링크

• “Discretely-normed ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Valuation ring”. 《nLab》 (영어).