심플렉틱 벡터 공간

선형대수학에서 심플렉틱 벡터 공간(symplectic vector空間, 영어: symplectic vector space)은 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간이다.

정의

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 쌍선형 형식

$\Omega \colon V\otimes _{K}V\to K$

$\Omega \colon (a\otimes b)\mapsto \Omega (a,b)$

가 다음 조건을 만족시키면, 심플렉틱 쌍선형 형식(영어: symplectic bilinear form)이라고 한다.

• $\Omega (v,v)=0\qquad \forall v\in V$
• (비퇴화성) 선형 변환 $V\to V^{*}$, $v\mapsto \Omega (v,-)$는 단사 함수이다. 즉, 만약 $\Omega (v,u)=0\forall u\in V$라면, $v=0$이다.

심플렉틱 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간 $(V,\Omega )$를 심플렉틱 벡터 공간이라고 한다.

성질

다르부 기저

표수가 2가 아닌 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\Omega )$는 항상 짝수 차원이며, $\Omega$가 다음과 같은 행렬로 표현되게 만드는 기저가 존재한다.

$\Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}$

이러한 기저를 다르부 기저(영어: Darboux basis)라고 한다.

라그랑주 부분 공간

임의의 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$이 주어졌을 때,

$V\oplus V^{*}$

위에 다음과 같은 심플렉틱 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

$\Omega (a\oplus \alpha ,b\oplus \beta )=\langle a,\beta \rangle -\langle b,\alpha \rangle \qquad (a,b\in V,\;\alpha ,\beta \in V^{*})$

심플렉틱 벡터 공간의 동형

$V\oplus V^{*}\to W$

가 주어졌을 때, $V$를 $W$의 라그랑주 부분 공간이라고 한다. 모든 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간은 라그랑주 부분 공간을 가지며, 이는 일반적으로 유일하지 않다.

표준 부피 형식

$2n$차원 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\Omega )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\overbrace {\Omega \wedge \Omega \wedge \dotsb \wedge \Omega } ^{n}\in \bigvee ^{n}(V)$

는 $V$ 위의 부피 형식을 이룬다. 이를 $V$의 표준 부피 형식(영어: standard volume form)이라고 한다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Symplectic space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Symplectic form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Symplectic vector space”. 《nLab》 (영어).