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선형대수학에서, 심플렉틱 벡터 공간(symplectic vector空間, 영어: symplectic vector space)은 비퇴화 교대 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간이다.

정의편집

  위의 벡터 공간   위의 쌍선형 형식

 
 

가 다음 조건을 만족시키면, 심플렉틱 쌍선형 형식(영어: symplectic bilinear form)이라고 한다.

  •  
  • (비퇴화성) 선형 변환  ,  단사 함수이다. 즉, 만약  라면,  이다.

심플렉틱 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간  심플렉틱 벡터 공간이라고 한다.

성질편집

다르부 기저편집

표수가 2가 아닌 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간  는 항상 짝수 차원이며,  가 다음과 같은 행렬로 표현되게 만드는 기저가 존재한다.

 

이러한 기저를 다르부 기저(영어: Darboux basis)라고 한다.

라그랑주 부분 공간편집

임의의 체   위의 유한 차원 벡터 공간  이 주어졌을 때,

 

위에 다음과 같은 심플렉틱 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

 

심플렉틱 벡터 공간의 동형

 

가 주어졌을 때,   라그랑주 부분 공간이라고 한다. 모든 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간은 라그랑주 부분 공간을 가지며, 이는 일반적으로 유일하지 않다.

표준 부피 형식편집

 차원 심플렉틱 벡터 공간  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

 

  위의 부피 형식을 이룬다. 이를  표준 부피 형식(영어: standard volume form)이라고 한다.

외부 링크편집