마슬로프 지표

심플렉틱 위상수학에서 마슬로프 지표(Маслов指標, 영어: Maslov index)는 심플렉틱 다양체 속의 라그랑주 부분 다양체 속의 폐곡선에 대응되는, 폐곡선이 감기는 수를 측정하는 정수이다. 양자역학의 반고전적 근사법에서, 고전적 작용의 보정항으로 등장한다.

정의

$2n$차원 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\omega )$가 주어졌다고 하자. 그 속의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간은 다음과 같다.

$\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)$

이는 $n(n+1)/2$차원의 동차공간이며, 이를 라그랑주 그라스만 다양체(영어: Lagrangian Grassmannian)이라고 한다.

라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 무한 순환군 $\mathbb {Z}$이다. 구체적으로, $\operatorname {U} (n)$의 기본군은 $\mathbb {Z}$이며, 이는 유니터리 행렬의 행렬식이 단위 복소수 $\det M\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$임에서 기여한다. 직교 행렬의 행렬식은 $\pm 1$이므로, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 $2\mathbb {Z} \subset \pi _{1}(\operatorname {U} (n))=\mathbb {Z}$이다.

$2n$차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 접공간 $T_{x}M$에 대하여 라그랑주 그라스만 다양체를 취하면, 올이 $\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)$인 올다발 $\Lambda M\twoheadrightarrow M$을 정의할 수 있다. 이를 라그랑주 그라스만 다발이라고 한다.

$M$ 속의 라그랑주 부분 다양체 $L\subset M$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 $x\in L$에 대하여 라그랑주 그라스만 다발 $\Lambda M$으로 가는 다발 사상

$L\to \Lambda M$

이 존재한다. 만약 $L$이 축약 가능 공간이라고 하면, $\Lambda M|_{L}$과 $\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)$은 서로 호모토피 동치이며, 자연스러운 군 동형

$\pi _{1}(\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n))\cong \pi _{1}(\Lambda M|_{L})$

이 주어진다. 위 동형은 코호몰로지에 의한 당김

$\mathbb {Z} \cong \langle a\rangle \cong H^{1}(\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n))\cong H^{1}(\Lambda M|_{L};\mathbb {Z} )\to H^{1}(L;\mathbb {Z} )$

이 존재한다. 이 경우, $H^{1}(\operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n))$의 생성원 $a$의 $H^{1}(L;\mathbb {Z} )$에서의 상을 마슬로프 지표(영어: Maslov index) $m\in H^{1}(L;\mathbb {Z} )$라고 한다. 폐곡선 또는 1차 호몰로지류 $[\gamma ]\in H_{1}(M;\mathbb {Z} )$의 마슬로프 지표는 정수 $m([\gamma ])\in \mathbb {Z}$이다.

역사

빅토르 파블로비치 마슬로프(러시아어: Ви́ктор Па́влович Ма́слов)가 WKB 근사를 다루기 위하여 도입하였다. 이후 블라디미르 아르놀트가 1967년에 이를 대수적 위상수학을 통해 설명하였다.

외부 링크

• Bates, Sean; Weinstein, Alan. “Lectures on the geometry of quantization” (PDF) (영어). 
• Thomas, Teruji (2009). “The Maslov index” (PDF) (영어). 2016년 3월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 10월 9일에 확인함. 
• Ranicki, Andrew. “The Maslov index” (영어). 2015년 12월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 10월 9일에 확인함. 
• “Maslov index”. 《nLab》 (영어).