마슬로프 지표

심플렉틱 위상수학에서 마슬로프 지표(Маслов指標, 영어: Maslov index)는 심플렉틱 다양체 속의 라그랑주 부분 다양체 속의 폐곡선에 대응되는, 폐곡선이 감기는 수를 측정하는 정수이다. 양자역학의 반고전적 근사법에서, 고전적 작용의 보정항으로 등장한다.

정의

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 차원 심플렉틱 벡터 공간  가 주어졌다고 하자. 그 속의 라그랑주 부분 공간들의 모듈라이 공간은 다음과 같다.

 

이는  차원의 동차공간이며, 이를 라그랑주 그라스만 다양체(영어: Lagrangian Grassmannian)이라고 한다.

라그랑주 그라스만 다양체의 기본군무한 순환군  이다. 구체적으로,  의 기본군은  이며, 이는 유니터리 행렬의 행렬식이 단위 복소수  임에서 기여한다. 직교 행렬의 행렬식은  이므로, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은  이다.

 차원 심플렉틱 다양체  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 접공간  에 대하여 라그랑주 그라스만 다양체를 취하면, 올이  올다발  을 정의할 수 있다. 이를 라그랑주 그라스만 다발이라고 한다.

  속의 라그랑주 부분 다양체  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여 라그랑주 그라스만 다발  으로 가는 다발 사상

 

이 존재한다. 만약  축약 가능 공간이라고 하면,   은 서로 호모토피 동치이며, 자연스러운 군 동형

 

이 주어진다. 위 동형은 코호몰로지에 의한 당김

 

이 존재한다. 이 경우,  의 생성원   에서의 마슬로프 지표(영어: Maslov index)  라고 한다. 폐곡선 또는 1차 호몰로지류  의 마슬로프 지표는 정수  이다.

역사

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빅토르 파블로비치 마슬로프(러시아어: Ви́ктор Па́влович Ма́слов)가 WKB 근사를 다루기 위하여 도입하였다.[1][2] 이후 블라디미르 아르놀트가 1967년에 이를 대수적 위상수학을 통해 설명하였다.[3]

각주

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  1. Маслов, В. П. (1965). 《Теория возмущений и асимптотические методы》 (러시아어). Издательство Московского государственного университета. 
  2. Маслов, В. П. (1965). 〈Метод ВКБ в многомерном случае〉. 《Введение в метод фазовы хинтегралов》. Библиотека сборника «Математика» (러시아어). Издательство «Мир». 
  3. Арнольд, В. И. (1967). “О характеристическом классе, входящем в условия квантования”. 《Функциональный анализ и его приложения》 (러시아어) 1 (1): 1–14.  영역 Arnol’d, V. I. (1967년 1월). “Characteristic class entering in quantization conditions” (PDF). 《Functional Analysis and Its Applications》 (영어) 1 (1): 1-13. doi:10.1007/BF01075861. 2011년 6월 11일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 10월 9일에 확인함. 

외부 링크

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