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리만 기하학에서, 부피 형식(부피形式, 영어: volume form 볼륨 폼[*])은 유향 준 리만 다양체에 대하여 정의되는 특별한 최고 차수 실수 미분 형식이다. 이를 적분하여, 다양체의 구역의 부피를 정의할 수 있다.

정의편집

 차원 유향 준 리만 다양체  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 부피 형식은 다음과 같은  차 실수 미분 형식

 

이다.

 

여기서

  •   의 (홀로노믹) 국소 좌표계이며, 그 방향은 양의 방향이다.
  •  는 다음과 같은, 리만 계량의 성분으로 구성된   대칭 행렬행렬식이다.
     

 는 만약  가 짝수라면 양수이며,  가 홀수라면 음수이다. 즉,

 

이다.

성질편집

부피 형식은 준 리만 다양체방향에 의존한다. 만약 방향을 뒤집는다면, 부피 형식은

 

로 변환한다. 비가향 다양체의 경우, 부피 형식을 정의할 수 없다(다만, 부피의 개념 자체는 밀도의 개념을 사용하여 정의될 수 있다).

참고 문헌편집

  • Kobayashi, S. (1972), 《Transformation Groups in Differential Geometry》, Classics in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC 31374337 .
  • Spivak, Michael (1965), 《Calculus on Manifolds》, Reading, Massachusetts: W.A. Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9 .

외부 링크편집