부피 형식

리만 기하학에서 부피 형식(부피形式, 영어: volume form 볼륨 폼^[*])은 유향 준 리만 다양체에 대하여 정의되는 특별한 최고 차수 실수 미분 형식이다. 이를 적분하여, 다양체의 구역의 부피를 정의할 수 있다.

정의

$n=p+q$차원 유향 준 리만 다양체 $(M,g)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 부피 형식은 다음과 같은 $n$차 실수 미분 형식

$\omega \in \Omega ^{n}(M;\mathbb {R} )$

이다.

$\omega ={\sqrt {(-)^{q}\det g}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x^{n}$

여기서

• $(x_{1},\dotsc ,x_{n})$은 $M$의 (홀로노믹) 국소 좌표계이며, 그 방향은 양의 방향이다.
• $\det g$는 다음과 같은, 리만 계량의 성분으로 구성된 $n\times n$ 대칭 행렬의 행렬식이다.

  ${\begin{pmatrix}g_{11}&\dotsm &g_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\g_{n1}&\dotsm &g_{nn}\end{pmatrix}}$

$\det g$는 만약 $q$가 짝수라면 양수이며, $q$가 홀수라면 음수이다. 즉,

$(-)^{q}\det g=\left|\det g\right|$

이다.

성질

부피 형식은 준 리만 다양체의 방향에 의존한다. 만약 방향을 뒤집는다면, 부피 형식은

$\omega \mapsto -\omega$

로 변환한다. 비가향 다양체의 경우, 부피 형식을 정의할 수 없다(다만, 부피의 개념 자체는 밀도의 개념을 사용하여 정의될 수 있다).

참고 문헌

• Kobayashi, S. (1972), 《Transformation Groups in Differential Geometry》, Classics in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC 31374337 .
• Spivak, Michael (1965), 《Calculus on Manifolds》, Reading, Massachusetts: W.A. Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9 .

외부 링크

• “Volume form”. 《nLab》 (영어).