아벨의 합 공식

아벨의 합 공식(Abel's summation formula, -合 公式)은 해석학의 간단한 공식으로, 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다. 주로 해석적 수론에서 급수를 적분으로 표현하는 용도로 사용된다.

공식화편집

 실수복소수 항의 수열이라 하고    급의 함수라 하자. 그러면 다음 항등식이 성립한다.

 

여기서,

 

이는 사실 단순한 계산을 통해 증명할 수 있는 리만-스틸체스 적분에 대한 부분적분 공식과 다름없는 식이다. 보다 일반적으로는 다음 식이 성립한다.

 

사용례편집

오일러-마스케로니 상수편집

만약   이고   이라면, 이상의 정의에 따라   이고 다음이 성립한다.

 

이러한 공식을 이용해 오일러-마스케로니 상수를 표현할 수 있다.

리만 제타 함수의 표현편집

만약   이고   이라면,   이고 다음이 성립한다.

 

이 공식은   에 대해서 성립한다. 이 공식을 이용하면 제타함수   가 s = 1에서 유수 1인 단순극을 갖는다는 디리클레의 정리를 증명할 수 있다.

리만 제타 함수편집

만약  뫼비우스 함수이고   이라면,  메르텐스 함수이고 다음이 성립한다.

 

마찬가지로 이 공식은  에서 성립한다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  • Apostol, Tom (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.