야코비 타원함수

수학에서 야코비 타원함수(Jacobi楕圓函數, 영어: Jacobi elliptic function)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

sn(u)의 그래프. 붉은 선은 , 녹색 선은 이다.
cn(u)의 그래프. 붉은 선은 , 녹색 선은 이다.
dn(u)의 그래프. 붉은 선은 , 녹색 선은 이다.

정의 편집

야코비 타원함수 sn, cn, dn은 두 개의 변수  에 대한 함수이다. 여기서  이다.

다음과 같은 타원 적분을 생각하자.

 

그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.

 
 
 

저자에 따라, 간혹 매개변수 m 대신   또는  을 사용하는 경우도 있다. 이 경우  ,  이다.

타원과의 관계 편집

긴 반지름 이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.

 

이들을 극좌표계  로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.

 
 
 

또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

 

그렇다면,  의 함수로서  ,  ,  은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.

 
 
 

이 경우,  은 타원의 이심률의 제곱이다.

 

보조 야코비 타원함수 편집

간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.

sn(u) cn(u) dn(u)
1 ns(u)=1/sn(u) nc(u)=1/cn(u) nd(u)=1/dn(u)
sn(u) 1 sc(u)=sn(u)/cn(u) sd(u)=sn(u)/dn(u)
cn(u) cs(u)=cn(u)/sn(u) 1 cd(u)=cn(u)/dn(u)
dn(u) ds(u)=dn(u)/sn(u) dc(u)=dn(u)/cn(u) 1

성질 편집

주기성 편집

야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다.  가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,

 

여기서   은 각각 실사분주기(영어: real quarter period)와 허사분주기(영어: imaginary quarter period)라는 특수 함수이며, 다음과 같다.

 
 

즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선   위에 정의된 유리형 함수이다.

극점과 영점 편집

sn, cn, dn 모두

 

에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다.

sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.

 
 
 

삼각함수·쌍곡함수와의 관계 편집

 일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다.

 
 
 

반대로,  일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다.

 
 

항등식 편집

야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

 
 

합 공식 편집

다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

 

미분 편집

야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

 
 
 

역사 편집

카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(라틴어: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)에서 도입하였다.[1]

같이 보기 편집

각주 편집

  1. Jacobi, C. G. J. (1829). 《Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum》 (라틴어). Königsberg: Borntraeger. 

외부 링크 편집