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집합론에서, 약콤팩트 기수(弱compact基數, 영어: weakly compact cardinal)는 그 만큼 무한한 수의 항들의 논리합 및 제한 기호 를 사용하는 무한 논리에서, 약한 형태의 콤팩트성 정리가 성립하는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의편집

비가산 기수에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 약콤팩트 기수라고 한다.

  •  라고 하자. 그렇다면 임의의 함수  에 대하여,   또는   가 존재한다.
  • 크기가  인 임의의 전순서 집합순서형 정렬 부분 집합을 갖는다.
  • (확장성 영어: extension property) 임의의  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 추이적 집합   및 그 부분집합  가 존재한다.
    •   기본적 부분 구조이다. 여기서   는 (같은) 1항 관계로 여긴다.
  • 무한 논리  는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 이론  에 대하여, 만약  라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
    • 만약 모든  에 대하여,  라면  구조  가 존재한다.
    •  인 구조  가 존재한다.
  • 무한 논리  는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다.

성질편집

모든 말로 기수(영어: Mahlo cardinal)는 약콤팩트 기수이다. (따라서 모든 도달 불가능한 기수는 약콤팩트 기수이다.) 모든 강콤팩트 기수는 약콤팩트 기수이다.

역사편집

참고 문헌편집

  1. Erdős, Paul; Tarski, Alfred (1961). 〈On some problems involving inaccessible cardinals〉. 《Essays on the foundations of mathematics》 (영어). 예루살렘: Magnes Press. 50–82쪽. MR 0167422. 

외부 링크편집

같이 보기편집