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집합론에서, 추이적 집합(推移的集合, 영어: transitive set)은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.

정의편집

집합  에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  
  • 임의의  에 대하여,  
  •  
  •  

마찬가지로, 추이적 모임(영어: transitive class)을 정의할 수 있다.

집합  추이적 폐포(영어: transitive closure)는  를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.

 

초추이적 집합편집

집합  에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합(영어: supertransitive set)이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 만약   또는  라면,  
  • 임의의  에 대하여,  

초추이적 집합은 추이적 집합이다.

보다 일반적으로, 순서수  에 대하여, 다음과 같은 누적 위계

 

를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을  -초추이적 집합(영어:  -supertransitive set)이라고 한다.

  • 임의의   및 순서수  에 대하여,  

즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.

집합   -초추이적 폐포 를 포함하는 가장 작은  -초추이적 집합이며, 다음과 같다.

 
 

성질편집

연산에 대한 닫힘편집

임의의 추이적 집합  에 대하여,    역시 추이적 집합이다.

임의의 추이적 집합들의 족  에 대하여,    역시 추이적 집합이다.

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순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.

폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수  에 대하여  는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체  는 추이적 고유 모임이다.

구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수  에 대하여  는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체  은 추이적 고유 모임이다.

응용편집

추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.

외부 링크편집