추이적 집합

집합론에서, 추이적 집합(推移的集合, 영어: transitive set)은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.

정의편집

집합 $X$ 에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다.

마찬가지로, 추이적 모임(영어: transitive class)을 정의할 수 있다.

집합 $X$ 의 추이적 폐포(영어: transitive closure)는 $X$ 를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.

\bigcup _{n=0}^{\infty }\operatorname {\overbrace {\bigcup \cdots \bigcup } ^{\mathit {n}}} X=X\cup \bigcup X\cup \bigcup \bigcup X\cup \cdots

집합 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합(영어: supertransitive set)이라고 한다.

초추이적 집합은 추이적 집합이다.

보다 일반적으로, 순서수 $\alpha$ 에 대하여, 다음과 같은 누적 위계

{\mathcal {P}}^{\alpha }(X)={\begin{cases}{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}^{\beta }(X))&\exists \beta \colon \beta +1=\alpha \\X\cup \bigcup _{\gamma <\alpha }{\mathcal {P}}^{\gamma }(X)&\nexists \beta \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}

를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을 $\alpha$ -초추이적 집합(영어: $\alpha$ -supertransitive set)이라고 한다.

임의의 $A\in X$ 및 순서수 $\beta <\alpha$ 에 대하여, ${\mathcal {P}}^{\beta }(A)\subseteq X$

즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.

집합 $X$ 의 $\alpha$ -초추이적 폐포는 $X$ 를 포함하는 가장 작은 $\alpha$ -초추이적 집합이며, 다음과 같다.

X\cup Q(X)\cup Q(Q(X))\cup \cdots

Q(X)=\bigcup _{A\in X}\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}^{\beta }(A)

임의의 추이적 집합 $X$ 에 대하여, $\bigcup X$ 와 $X\cup \{X\}$ 역시 추이적 집합이다.

임의의 추이적 집합들의 족 ${\mathcal {X}}$ 에 대하여, $\bigcup {\mathcal {X}}$ 와 $\bigcap {\mathcal {X}}$ 역시 추이적 집합이다.

순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.

폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여 $V_{\alpha }$ 는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체 $V$ 는 추이적 고유 모임이다.

구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수 $\alpha$ 에 대하여 $L_{\alpha }$ 는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체 $L$ 은 추이적 고유 모임이다.

추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.