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강콤팩트 기수

집합론에서, 강콤팩트 기수(強compact基數, 영어: strongly compact cardinal)는 티호노프 정리와 유사한 성질을 만족시키는 무한 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의편집

기수  에 대하여, 위상 공간  가 다음 성질을 만족시키면,   -콤팩트하다고 한다.

  •  의 모든 열린 덮개는 크기가   미만인 부분 덮개를 갖는다.

일반적인 콤팩트 공간의 개념은  -콤팩트 공간이다.

두 무한 기수  가 주어졌을 때, 무한 논리   개 미만의 항들의 논리합·논리곱 개 미만의 변수들에 대한 한정 기호 ∀및 ∃를 적용할 수 있는 논리이다.

무한 기수  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 무한 기수강콤팩트 기수라고 한다.

  • 임의의 개수의  -콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간 -콤팩트 하우스도르프 공간이다.[1]
  • 임의의 집합 위의  -완비 필터 -완비 극대 필터의 부분 필터이다.[2]:37
  • 무한 논리  콤팩트성 정리를 만족시킨다.[2]:36–37 즉, 임의의 명제들의 집합  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
    •  구조  이 존재한다.
    • 크기가   미만인 임의의 부분집합  에 대하여,  구조  가 존재한다.

성질편집

모든 비가산 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.[2]:38 (가측 기수는 정의에 따라 비가산 기수이므로,  는 강콤팩트 기수이지만 가측 기수가 아니다.) 모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

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선택 공리를 가정하면, 티호노프 정리에 따라서,  은 강콤팩트 기수이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이 밖의 다른 강콤팩트 기수의 존재를 증명할 수 없다.

역사편집

하워드 제롬 카이슬러(독일어: Howard Jerome Keisler)와 알프레트 타르스키가 도입하였다.[3]

참고 문헌편집

  1. Mycielski, Jan (1964). “Two remarks on Tychonoff’s product theorem”. 《Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astron. Phys.》 (영어) 12: 439–441. Zbl 0138.17703. 
  2. Kanamori, Akihiro (2003). 《The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. Zbl 1022.03033. 
  3. H. J., Keisler; A. Tarski (1964). “From accessible to inaccessible cardinals (Results holding for all accessible cardinal numbers and the problem of their extension to inaccessible ones)”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 53 (3): 225–308. 

외부 링크편집