옌센 부등식

수학에서 옌센 부등식(영어: Jensen’s inequality)은 기댓값의 볼록 함수와 볼록 함수의 기댓값 사이에 성립하는 부등식이다.

정의

열린구간 $(a,b)\subseteq \mathbb {R}$ 위의 볼록 함수 $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ 및 실수 $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {(} a,b)$ 및 음이 아닌 실수 $p_{1},\dots ,p_{n}\in [0,1]$ ($p_{1}+\cdots +p_{n}=1$)가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.

$f(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots +p_{n}x_{n})\leq p_{1}f(x_{1})+p_{2}f(x_{2})+\cdots +p_{n}f(x_{n})$

보다 일반적으로, 열린구간 $(a,b)\subseteq \mathbb {R}$ 위의 볼록 가측 함수 $f\colon ((a,b),{\mathcal {B}}((a,b)))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ 및 확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )$ 위의 확률 변수 $X\colon \Omega \to ((a,b),{\mathcal {B}}((a,b)))$가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 만약 기댓값 $\operatorname {E} (X)$와 $\operatorname {E} (f(X))$가 존재한다면, 다음이 성립한다.^{:66:86, §3.1, Theorem 3.1.9}

$f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X))$

여기서 $\operatorname {E} (-)$는 기댓값이다.

특수한 경우

산술-기하 평균 부등식

 이 부분의 본문은 산술-기하 평균 부등식입니다.

만약 $(a,b)=(0,\infty )$이며, $f=-\ln$일 경우, 옌센 부등식은 산술-기하 평균 부등식

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}$

이다.

영의 부등식

 이 부분의 본문은 영의 부등식입니다.

만약 $(a,b)=(0,\infty )$이며, $f=-\ln$이며, $n=2$이며, $\textstyle p_{1}={\frac {1}{p}}$, $\textstyle p_{2}={\frac {1}{q}}$ ($\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$)일 경우, 옌센 부등식은 영의 부등식

${\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}\geq x^{1/p}y^{1/q}$

이다.

멱함수

양의 실수 $p\in [1,\infty )$에 대하여, 만약 $(a,b)=(0,\infty )$이며, $f\colon x\mapsto x^{p}$이며, $\textstyle p_{i}={\frac {1}{n}}$일 경우, 옌센 부등식은

$(|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|)^{p}\leq n^{p-1}(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})$

이다.

양의 실수 $p\in (0,1)$에 대하여, 만약 $(a,b)=(0,\infty )$이며, $f\colon x\mapsto -x^{p}$이며, $\textstyle p_{i}={\frac {1}{n}}$일 경우, 옌센 부등식은

$(|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|)^{p}\geq n^{p-1}(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p})$

이다.

역사

요한 옌센(덴마크어: Johan Jensen)의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Jensen inequality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Jensens’ inequality”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.