옌센 부등식

수학에서, 옌센 부등식(영어: Jensen’s inequality)은 기댓값볼록 함수와 볼록 함수의 기댓값 사이에 성립하는 부등식이다.[1][2]

정의편집

열린구간   위의 볼록 함수   및 실수   및 음이 아닌 실수   ( )가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.

 

보다 일반적으로, 열린구간   위의 볼록 가측 함수  확률 공간   위의 확률 변수  가 주어졌다고 하자. 옌센 부등식에 따르면, 만약 기댓값   가 존재한다면, 다음이 성립한다.[1]:66[2]:86, §3.1, Theorem 3.1.9

 

여기서  기댓값이다.

특수한 경우편집

산술-기하 평균 부등식편집

만약  이며,  일 경우, 옌센 부등식은 산술-기하 평균 부등식

 

이다.

영의 부등식편집

만약  이며,  이며,  이며,  ,   ( )일 경우, 옌센 부등식은 영의 부등식

 

이다.

멱함수편집

양의 실수  에 대하여, 만약  이며,  이며,  일 경우, 옌센 부등식은

 

이다.

양의 실수  에 대하여, 만약  이며,  이며,  일 경우, 옌센 부등식은

 

이다.

역사편집

요한 옌센(덴마크어: Johan Jensen)의 이름을 땄다.

참고 문헌편집

  1. 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002
  2. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 

외부 링크편집