오퍼라드 대수

오퍼라드 이론에서 오퍼라드 대수(operad代數, 영어: operad algebra)는 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는, 어떤 대칭 모노이드 범주 속의 구조이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 대칭 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes ,1)$
• ${\mathcal {C}}$ 속의 오퍼라드 $P=(P(n))_{n\in \mathbb {N} }$

그렇다면, $P$ 위의 대수는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 대상 $X\in {\mathcal {C}}$
• 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 사상 $P(n)\otimes X^{\otimes n}\to X$

이는 $P$의 구조(항등 연산 · 변수 치환 · 연산 합성)와 적절한 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

닫힌 대칭 모노이드 범주의 경우

닫힌 대칭 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes ,\hom )$의 경우, 약간 다른 정의가 가능하다. 이 경우, 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 자명한 오퍼라드 $\operatorname {Op} (X)$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• $\operatorname {Op} (X)$의 $n$항 연산은 내부 준동형사상 대상 $\hom(X^{\otimes n},X)$이다.
• 연산의 합성은 $\otimes$의 결합성으로부터 유도된다.

이 경우, $({\mathcal {C}},\otimes )$에 대한 오퍼라드 $P$ 위의 대수(영어: algebra over $P$) $(X,\phi )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $X\in {\mathcal {C}}$는 ${\mathcal {C}}$의 대상이다.
• $\phi$는 오퍼라드 사상 $P\to \operatorname {Op} (X)$이다.

예

체 $K$ 위의 벡터 공간의 대칭 모노이드 범주 $(\operatorname {Vect} _{K},\otimes ,K)$를 생각하자. 그 속의 오퍼라드 $\operatorname {Ass}$ 위의 대수는 $K$-결합 대수이다.

마찬가지로, A∞-대수는 A∞-오퍼라드 위의 대수이다.

외부 링크

• “Algebra over an operad”. 《nLab》 (영어). 
• “Category over an operad”. 《nLab》 (영어).