A∞ -오퍼라드를 벡터 공간 의 모노이드 범주 위에 표현하면, A∞ -대수 를 얻는다. A∞ -대수
A
{\displaystyle A}
A
=
⨁
p
∈
Z
A
p
{\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }A^{p}}
다음과 같은 무한한 수의 연산들을 갖는다. 모든
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
m
n
:
A
⊕
n
→
A
{\displaystyle m_{n}\colon A^{\oplus n}\to A}
deg
m
n
=
2
−
n
{\displaystyle \deg m_{n}=2-n}
이 존재한다.
이들은 다음과 같은 무한한 수의 항등식들을 만족시킨다. 모든
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
∑
r
+
s
+
t
=
n
(
−
1
)
r
+
s
t
m
r
+
1
+
t
(
a
1
,
…
,
a
r
,
m
s
(
b
1
,
…
,
b
s
)
,
c
1
,
…
,
c
t
)
=
0
∀
a
i
,
b
i
,
c
i
∈
A
{\displaystyle \sum _{r+s+t=n}(-1)^{r+st}m_{r+1+t}(a_{1},\dots ,a_{r},m_{s}(b_{1},\dots ,b_{s}),c_{1},\dots ,c_{t})=0\qquad \forall a_{i},b_{i},c_{i}\in A}
처음 몇 개의 항등식은 다음과 같다. 여기서
m
1
=
δ
{\displaystyle m_{1}=\delta }
m
2
=
⋅
{\displaystyle m_{2}=\cdot }
(공경계의 멱영성)
δ
2
=
0
{\displaystyle \delta ^{2}=0}
(곱 규칙 )
δ
(
a
b
)
=
(
δ
a
)
b
+
a
(
δ
b
)
{\displaystyle \delta (ab)=(\delta a)b+a(\delta b)}
(호모토피 결합 법칙 )
a
(
b
c
)
−
(
a
b
)
c
=
δ
m
3
(
a
,
b
,
c
)
+
m
3
(
δ
a
,
b
,
c
)
+
m
3
(
a
,
δ
b
,
c
)
+
m
3
(
a
,
b
,
δ
c
)
{\displaystyle a(bc)-(ab)c=\delta m_{3}(a,b,c)+m_{3}(\delta a,b,c)+m_{3}(a,\delta b,c)+m_{3}(a,b,\delta c)}
m
3
(
a
b
,
c
,
d
)
−
m
3
(
a
,
b
c
,
d
)
+
m
3
(
a
,
b
,
c
d
)
−
m
3
(
a
,
b
,
c
)
d
−
a
m
3
(
b
,
c
,
d
)
=
−
δ
m
4
(
a
,
b
,
c
,
d
)
+
m
4
(
δ
a
,
b
,
c
,
d
)
+
m
4
(
a
,
δ
b
,
c
,
d
)
+
m
4
(
a
,
b
,
δ
c
,
d
)
+
m
4
(
a
,
b
,
c
,
δ
d
)
{\displaystyle m_{3}(ab,c,d)-m_{3}(a,bc,d)+m_{3}(a,b,cd)-m_{3}(a,b,c)d-am_{3}(b,c,d)=-\delta m_{4}(a,b,c,d)+m_{4}(\delta a,b,c,d)+m_{4}(a,\delta b,c,d)+m_{4}(a,b,\delta c,d)+m_{4}(a,b,c,\delta d)}
⋮
{\displaystyle \vdots }
따라서,
(
A
,
δ
)
{\displaystyle (A,\delta )}
공사슬 복합체 를 이룬다.
두 A∞ -대수
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
사상 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
각
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
1
−
n
{\displaystyle 1-n}
f
n
:
A
⊗
n
→
B
{\displaystyle f_{n}\colon A^{\otimes n}\to B}
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다. 모든
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
∑
r
+
s
+
t
=
n
(
−
1
)
r
+
s
t
f
r
+
1
+
t
(
a
1
,
…
,
a
r
,
m
s
(
a
r
+
1
,
…
,
a
r
+
s
)
,
a
r
+
s
+
1
,
…
,
a
n
)
=
∑
k
=
1
n
∑
i
1
+
⋯
+
i
k
=
n
(
−
1
)
∑
ℓ
=
1
k
(
k
−
ℓ
)
(
i
ℓ
−
1
)
m
r
(
f
i
1
(
a
1
,
…
,
a
i
1
,
f
2
(
…
)
,
…
,
f
i
k
(
…
,
a
n
)
)
{\displaystyle \sum _{r+s+t=n}(-1)^{r+st}f_{r+1+t}(a_{1},\dots ,a_{r},m_{s}(a_{r+1},\dots ,a_{r+s}),a_{r+s+1},\dots ,a_{n})=\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n}(-1)^{\sum _{\ell =1}^{k}(k-\ell )(i_{\ell }-1)}m_{r}(f_{i_{1}}(a_{1},\dots ,a_{i_{1}},f_{2}(\dots ),\dots ,f_{i_{k}}(\dots ,a_{n}))}
구체적으로, 처음 몇
n
{\displaystyle n}
f
1
∘
δ
=
δ
∘
f
1
{\displaystyle f_{1}\circ \delta =\delta \circ f_{1}}
f
1
(
a
⋅
b
)
=
f
1
(
a
)
⋅
f
1
(
b
)
+
δ
f
2
(
a
,
b
)
+
f
2
(
δ
a
,
b
)
+
f
2
(
a
,
δ
b
)
{\displaystyle f_{1}(a\cdot b)=f_{1}(a)\cdot f_{1}(b)+\delta f_{2}(a,b)+f_{2}(\delta a,b)+f_{2}(a,\delta b)}
⋮
{\displaystyle \vdots }
A∞ -대수
A
{\displaystyle A}
코호몰로지
H
∙
(
A
)
{\displaystyle H^{\bullet }(A)}
H
∙
(
A
)
{\displaystyle H^{\bullet }(A)}
∞ -대수의 구조가 존재하며, 이 경우
m
1
=
0
{\displaystyle m_{1}=0}
