오퍼라드

대수학과 대수적 위상수학에서 오퍼라드(영어: operad)는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다. 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.

정의

자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes ,1_{\otimes })$에서, 대상 $C\in {\mathcal {C}}$의 원소는 사상 $1_{\otimes }\to C$로 정의하자.

대칭 모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes ,1_{\otimes })$에서의 오퍼라드 $(P,\circ ,1_{P})$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• (연산 집합) 모든 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, ${\mathcal {C}}$의 대상 $P(n)\in {\mathcal {C}}$. $P(n)$의 원소를 각각 $n$-항 연산(영어: n-ary operation)이라고 한다.
• (항등 연산) $P(1)$의 원소 $1_{P}\in P(1)$. 이를 항등 연산(영어: unit)이라고 한다.
• (변수의 치환) 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 군 준동형 $*\colon \operatorname {Sym} (n)\to \operatorname {Aut} _{\mathcal {C}}(P(n),P(n))$. 여기서 $\operatorname {Sym} (n)$은 대칭군이다.
• (연산의 합성) 자연수 $n,n_{1},n_{2},\dots ,n_{n}\in \mathbb {N}$에 대해, 함수들

${\begin{matrix}P(n)\otimes P(n_{1})\otimes \cdots \otimes P(n_{n})&\to &P(n_{1}+\cdots +n_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto &\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})\end{matrix}}$

이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.

• (결합법칙) 모든 $\theta \in P(n)$, $\theta _{i}\in P(n_{i})$, $\theta _{i,j(i)}\in P(n_{i,j(i)})$에 대하여 ($i=1,\dots ,n$, $j(i)\colon 1,\dots ,n_{i}$),

$\theta \circ (\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,n_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,n_{n}}))=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,n_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,n_{n}})$

• (항등원의 성질) 모든 $\theta \in P(n)$에 대하여,

$\theta \circ (\overbrace {1,\ldots ,1} ^{n})=\theta =1\circ \theta$

• (치환의 작용) 모든 $\theta \in P(n)$ 및 $\theta _{i}\in P(n_{i})$ ($i=1,\dots ,n$) 및 순열 $\sigma \in \operatorname {Sym} (n)$에 대하여,

$(\theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n}))*\sigma =\theta \circ (\theta _{\sigma (1)},\dots ,\theta _{\sigma (n)})$

• (치환의 작용) 모든 $\theta \in P(n)$ 및 $\theta _{i}\in P(n_{i})$ 및 순열 $\sigma _{1}\in \operatorname {Sym} (n_{i})$ ($i=1,\dots ,n$)에 대하여,

$(\theta \circ (\theta _{1}*\sigma _{1},\dots ,\theta _{n}*\sigma _{n}))=\left(\theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n})\right)*\iota (\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n})$

여기서 $\iota \colon \prod _{i=1}^{n}\operatorname {Sym} (n_{i})\hookrightarrow \operatorname {Sym} (\sum _{i=1}^{n}n_{i})$는 군의 자연스러운 포함 관계이다.

같은 대칭 모노이드 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 두 오퍼라드 $(P,\circ _{P},1_{P})$, $(Q,\circ _{Q},1_{Q})$ 사이의 사상 $f\colon P\to Q$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 사상 $f(n)\colon P(n)\to Q(n)$.

이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

• (연산 합성의 보존) 모든 $(\theta ,\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{n})\in P(n)\times P(n_{1})\times P(n_{2})\times \cdots \times P(k_{n})$에 대하여,

$f(\theta \circ _{P}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ _{Q}(f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))$

• (항등원의 보존) $f(1_{P})=1_{Q}$
• (대칭군의 작용의 보존)

이에 따라, ${\mathcal {C}}$에서의 오퍼라드들은 범주 ${\mathcal {C}}\operatorname {-Operad}$를 이룬다.

오퍼라드의 모나드

집합의 데카르트 닫힌 범주 $\operatorname {Set}$ 속의 오퍼라드 $(P,\circ _{P},1_{P})$가 주어지면, 이로부터 $\operatorname {Set}$ 위의 모나드 ${\hat {P}}\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set}$를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 $S$는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데, ${\hat {P}}(S)$는 $P$와 $S$를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환 ${\hat {P}}{\hat {P}}\implies {\hat {P}}$는 $P$의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.

오퍼라드 대수

 이 부분의 본문은 오퍼라드 대수입니다.

오퍼라드는 어떤 대수 구조가 만족시킬 수 있는 일련의 공리들을 정의한다. 이에 따라, 주어진 대칭 모노이드 범주 속에서, 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는 구조의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 오퍼라드 대수라고 한다.

예

자기준동형 오퍼라드

$({\mathcal {C}},\otimes ,1)$가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상 $X\in {\mathcal {C}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자기준동형 오퍼라드(영어: endomorphism operad) $\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)$는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.

• 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)(n)=\hom _{\mathcal {C}}(X^{n},X)$
• $1_{\operatorname {End} _{\mathcal {C}}(X)}=\operatorname {id} _{X}$
• 각 $\theta ,\theta _{1},\dots ,\theta _{n}$에 대하여,

$\theta \circ (\theta _{1},\dots ,\theta _{n})=\theta \circ \otimes _{i=1}^{n}\theta _{i}$

초입방체 오퍼라드

양의 정수 $k$에 대하여, $k$차원 초입방체 오퍼라드(영어: n-cubes operad) $C_{k}$는 다음과 같다.

• $C_{k}(n)$은 $n$개의 $k$차원 초입방체 $\square _{1},\dots ,\square _{n}$를 하나의 $k$차원 초입방체 $\square$에 서로 겹치지 않고, $\square _{i}$의 면들이 $\square$의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다.
• $C_{k}$의 항등원은 초입방체 $\square$ 위의 항등 함수이다.
• $C_{k}$에서, $\theta \colon \square _{1}\sqcup \cdots \sqcup \square _{n}\hookrightarrow \square$와 $\theta _{i}\colon \square _{i,1}\sqcup \cdots \sqcup \square _{i,n_{i}}\hookrightarrow \square _{i}$ ($i=1,\dots ,n$)의 합성은 매장을 합성하여, $\theta _{i,j}$를 $\theta$ 속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.

결합법칙 오퍼라드

벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주 $\operatorname {Vect} _{K}$ 위에서 다음과 같은 오퍼라드 $\operatorname {Assoc} _{K}$를 정의하자.

• $\operatorname {Assoc} _{K}$의 $n$항 연산은 $n!$차원 $K$-벡터 공간 $\operatorname {Span} _{K}\operatorname {Sym} (n)$이다. 여기서 $\operatorname {Sym} (n)$은 크기가 $n!$인 대칭군이다.
• $\operatorname {Sym} (n)$의 작용은 군 $\operatorname {Sym} (n)$의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
• $\operatorname {Assoc} _{K}$의 연산의 합성은 군 준동형

$\operatorname {Sym} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {Sym} (n_{k})\to \operatorname {Sym} (n_{1}+\cdots +n_{k})$

의 선형 확장이다.

이 경우, $\operatorname {Assoc} _{K}$ 위의 대수는 결합 $K$-대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.

역사와 어원

존 피터 메이(영어: Jon Peter May)와 마이클 보드먼(영어: J. Michael Boardman), 라이너 폭트(독일어: Rainer M. Vogt) 가 호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다. 메이에 따르면, "오퍼라드"(영어: operad 오퍼래드^[*])는 영어: operation 오퍼레이션^[*](연산)과 영어: monad 모내드^[*](모나드)의 합성어이다.

“	‘오퍼라드’라는 이름은 내가 일주일 동안 이것만을 생각하여 고안해 낸 용어이다. 이름이 근사하게 들리는 것 말고도, 이는 ‘연산’(영어: operation 오퍼레이션[*])과 ‘모나드’가 연상되게 한 것이다. 덧붙이자면, 나는 매클레인에게 […] ‘트리플’(영어: triple) 대신 ‘모나드’를 사용하도록 설득하였다. 나는 오퍼라드의 개념이 중요하다는 것을 확신하였고, 용어들이 서로 호환되기를 바랐다. The name “operad” is a word that I coined myself, spending a week thinking about nothing else. Besides having a nice ring to it, the name is meant to bring to mind both operations and monads. Incidentally, I persuaded MacLane to discard the term “triple” in favor of “monad” […]. I was convinced that the notion of an operad was an important one, and I wanted the names to mesh.	”
	—

이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.

응용

수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 결합 대수, 리 대수, 거스틴해버 대수, 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.

이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다.

참고 문헌

• Leinster, Tom (2004년 8월). 《Higher operads, higher categories》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 298. Cambridge University Press. arXiv:math/0305049. Bibcode:2003math......5049L. doi:10.1017/CBO9780511525896. ISBN 978-052153215-0. Zbl 1160.18001. 
• Markl, Martin; Steve Shnider, Jim Stasheff (2002). 《Operads in algebra, topology and physics》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 96. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4362-8. Zbl 1017.18001. 
• Vallette, Bruno (2014). 〈Algebra + homotopy = operad〉. 《Symplectic, Poisson and Noncommutative Geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 62. 101–162쪽. arXiv:1202.3245. Bibcode:2012arXiv1202.3245V. 

외부 링크

• “Operad”. 《nLab》 (영어). 
• Zinbiel, Guillaume W. (2010). “Encyclopedia of types of algebras 2010” (영어). arXiv:1101.0267. 

같이 보기

• A∞-오퍼라드