오퍼라드

(오퍼라드 이론에서 넘어옴)

대수학대수적 위상수학에서 오퍼라드(영어: operad)는 이항 연산을 많은 항을 가진 연산자들의 모음으로 일반화·추상화한 개념이다.[1][2][3] 대수적 대상의 (반)가환성과 결합성 등의 여러 성질을 한꺼번에 기술하고 일반화한다.

정의

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자연수를 음이 아닌 정수로 정의하자. 모노이드 범주  에서, 대상  의 원소는 사상  로 정의하자.

대칭 모노이드 범주  에서의 오퍼라드  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • (연산 집합) 모든 자연수  에 대하여,  의 대상  .  의 원소를 각각  -항 연산(영어: n-ary operation)이라고 한다.
  • (항등 연산)  의 원소  . 이를 항등 연산(영어: unit)이라고 한다.
  • (변수의 치환) 각 자연수  에 대하여, 군 준동형  . 여기서  대칭군이다.
  • (연산의 합성) 자연수  에 대해, 함수들
 

이 데이터는 다음의 성질들을 만족시켜야 한다.

  • (결합법칙) 모든  ,  ,  에 대하여 ( ,  ),
 
  • (항등원의 성질) 모든  에 대하여,
 
  • (치환의 작용) 모든    ( ) 및 순열  에 대하여,
 
  • (치환의 작용) 모든   순열   ( )에 대하여,
 
여기서  는 군의 자연스러운 포함 관계이다.

같은 대칭 모노이드 범주   속의 두 오퍼라드  ,   사이의 사상  은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 각 자연수  에 대하여, 사상  .

이는 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

  • (연산 합성의 보존) 모든  에 대하여,
 
  • (항등원의 보존)  
  • (대칭군의 작용의 보존)

이에 따라,  에서의 오퍼라드들은 범주  를 이룬다.

오퍼라드의 모나드

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집합의 데카르트 닫힌 범주   속의 오퍼라드  가 주어지면, 이로부터   위의 모나드  를 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합  는 항상 0항 연산의 집합으로 취급할 수 있는데,    를 합성하여 정의할 수 있는 0항 연산들의 집합이다. 이 경우, 자연 변환   의 연산의 합성으로서 자연스럽게 정의된다.

오퍼라드 대수

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오퍼라드는 어떤 대수 구조가 만족시킬 수 있는 일련의 공리들을 정의한다. 이에 따라, 주어진 대칭 모노이드 범주 속에서, 어떤 오퍼라드가 나타내는 공리들을 만족시키는 구조의 개념을 정의할 수 있으며, 이를 오퍼라드 대수라고 한다.

자기준동형 오퍼라드

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 가 국소적으로 작은 대칭 모노이드 범주라고 하고, 그 속에 대상  가 주어졌다고 하자. 그렇다면 자기준동형 오퍼라드(영어: endomorphism operad)  는 다음과 같은 (집합 값을 갖는) 오퍼라드이다.[1]

  • 각 자연수  에 대하여,  
  •  
  •  에 대하여,
 

초입방체 오퍼라드

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양의 정수  에 대하여,  차원 초입방체 오퍼라드(영어: n-cubes operad)  는 다음과 같다.[1]

  •   개의  차원 초입방체  를 하나의  차원 초입방체  에 서로 겹치지 않고,  의 면들이  의 면들과 서로 평행하게 매장하는 방법들이다.
  •  의 항등원은 초입방체   위의 항등 함수이다.
  •  에서,    ( )의 합성은 매장을 합성하여,    속에 겹치지 않고, 면들이 평행하게 매장시키는 사상이다.

결합법칙 오퍼라드

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벡터 공간의 닫힌 대칭 모노이드 범주   위에서 다음과 같은 오퍼라드  를 정의하자.

  •   항 연산은  차원  -벡터 공간  이다. 여기서  은 크기가  대칭군이다.
  •  의 작용은 군  의 왼쪽 곱셈의 선형 확장이다.
  •  의 연산의 합성은 군 준동형
 
의 선형 확장이다.

이 경우,   위의 대수는 결합  -대수이다. 마찬가지로, 교환법칙 따위를 오퍼라드로 나타낼 수 있다.

역사와 어원

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존 피터 메이(영어: Jon Peter May)[4]와 마이클 보드먼(영어: J. Michael Boardman), 라이너 폭트(독일어: Rainer M. Vogt)[5]호모토피 이론에서 도입하였다. "오퍼라드"라는 이름은 메이가 작명하였고, 이 이름을 고르는 데 일주일을 소비했다고 한다.[2] 메이에 따르면, "오퍼라드"(영어: operad 오퍼래드[*])는 영어: operation 오퍼레이션[*](연산)과 영어: monad 모내드[*](모나드)의 합성어이다.

‘오퍼라드’라는 이름은 내가 일주일 동안 이것만을 생각하여 고안해 낸 용어이다. 이름이 근사하게 들리는 것 말고도, 이는 ‘연산’(영어: operation 오퍼레이션[*])과 ‘모나드’가 연상되게 한 것이다. 덧붙이자면, 나는 매클레인에게 […] ‘트리플’(영어: triple) 대신 ‘모나드’를 사용하도록 설득하였다. 나는 오퍼라드의 개념이 중요하다는 것을 확신하였고, 용어들이 서로 호환되기를 바랐다.
The name “operad” is a word that I coined myself, spending a week thinking about nothing else. Besides having a nice ring to it, the name is meant to bring to mind both operations and monads. Incidentally, I persuaded MacLane to discard the term “triple” in favor of “monad” […]. I was convinced that the notion of an operad was an important one, and I wanted the names to mesh.

 
[2]

이후 막심 콘체비치가 오퍼라드의 개념을 이론물리학 등에 응용하였다.

응용

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수학에서, 오퍼라드의 개념은 결합 대수, 가환 결합 대수, 리 대수, 거스틴해버 대수, 강한 호모토피 대수(strong homotopy algebra) 등 많은 대수적 대상들을 공통적으로 기술하는 편리한 용어로 쓰인다.

이론물리학에서, 오퍼라드의 개념은 양자장론 · 끈 이론 등을 다룰 때에도 쓰인다.

참고 문헌

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  1. Stasheff, Jim (2004년 6월). “What is … an operad?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 51 (6): 630–631. Zbl 1151.18301. 
  2. May, J. Peter (1997). 〈Operads, algebras and modules〉 (PDF). 《Operads: proceedings of renaissance conferences》. Contemporary Mathematics (영어) 202. American Mathematical Society. 15–31쪽. ISBN 978-0-8218-0513-8. Zbl 0879.18001. 
  3. Markl, Martin (2008년 3월). 〈Operads and PROPs〉. 《Handbook of algebra, volume 5》 (영어). 87–140쪽. arXiv:math/0601129. Bibcode:2006math......1129M. doi:10.1016/S1570-7954(07)05002-4. ISBN 978-0-444-53101-8. Zbl 1211.18007. 
  4. May, J. P. (1972). 《The geometry of iterated loop spaces》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 271. Springer. doi:10.1007/BFb0067491. ISBN 978-3-540-05904-2. ISSN 0075-8434. Zbl 0244.55009. 2015년 7월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 15일에 확인함. 
  5. Boardman, J. Michael; Rainer M. Vogt (1973). 《Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 347. Springer. doi:10.1007/BFb0068547. ISBN 978-3-540-06479-4. ISSN 0075-8434. Zbl 0285.55012. 

외부 링크

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  • “Operad”. 《nLab》 (영어). 
  • Zinbiel, Guillaume W. (2010). “Encyclopedia of types of algebras 2010” (영어). arXiv:1101.0267. 

같이 보기

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