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L-대수

리 대수의 개념을 호모토피적으로 약화시켜 얻는 대수 구조

수학에서, L-대수(L-algebra) 또는 호모토피 리 대수(영어: homotopy Lie algebra)는 등급을 갖는 대수이다.[1][2][3] 리 대수의 개념에서, 야코비 항등식이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다.

목차

정의편집

괄호를 통한 정의편집

표수 0의 체  가 주어졌다고 하자.   위의 초벡터 공간  이 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

 

여기서  텐서 대수  의, 다음 부분 집합으로 생성되는 아이디얼이다.

 

여기서

  •  는 순열의 부호수, 즉 군 준동형  에 대한 이다.
  •    작용할 때,  에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우  , 홀수일 경우  이다.

물론  는 자연수 등급을 갖는다.

  위의 L-대수  는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진,   위의  -등급 벡터 공간

 

이다.

  •  에 대하여, 등급 반대칭  항 연산  . 그 등급은  이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.)
     

이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

 

여기서

  •   -셔플 순열의 집합이다.
  •  는 순열  가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때  , 홀수 번 뒤바꾸었을 때  이다. 이를 코쥘 부호(영어: Koszul sign)라고 한다.

미분 등급 대수를 통한 정의편집

만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다.

표수 0   위의 위의 호모토피 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •   위의 양의 정수 등급 벡터 공간  . 이로부터 다음을 정의할 수 있다.
    •   대수적 쌍대 공간이다.
    •  은 등급 벡터 공간   위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다.
  •    위의, 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
    •   -선형 변환이다.
    •  
    •  이다. 여기서  는 동차 성분이다.
    •  . 여기서  는 동차 성분이다.

이는 다음 조건을 추가로 만족시켜야 한다.

  • 표준 사영  미분 등급 대수준동형이다.

(만약 이 조건을 생략한다면, 굽은 L-대수영어: curved L-algebra의 개념을 얻는다.)

두 정의 사이의 관계편집

이 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, 괄호  를 통한 정의에서,  의 임의의 기저

 

를 잡자. 그 쌍대 기저는

 

이며, 또한

 

로 놓자. 그렇다면,

 

이다. 이 경우, 멱영 조건

 

을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.

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미분 등급 리 대수편집

L-대수  에서, 만약 오직 2항 이하 괄호만이 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 즉, 이 경우

 
 
 

로 놓으면,  가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다.

특히, 만약 추가로  일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 만약 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

 -대수편집

L-대수에서, 모든 생성원의 등급이  에 속하는 경우를  -대수라고 한다. 이 경우,

 

이므로,

 

이다.

예를 들어,  일 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다.

특히,  인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다.

거스틴해버 대수편집

모든 거스틴해버 대수는 L-대수를 이룬다.

참고 문헌편집

  1. Lada, Tom; Jim Stasheff. “Introduction to sh Lie algebras for physicists”. 《International Journal of Theoretical Physics》 (영어) 32 (7): 1087–1103. Bibcode:1993IJTP...32.1087L. ISSN 0020-7748. arXiv:hep-th/9209099. doi:10.1007/BF00671791. 
  2. Lada, Tom. “Strongly homotopy Lie algebras” (영어). Bibcode:1994hep.th....6095L. arXiv:hep-th/9406095. 
  3. Bering, Klaus; Tom Lada. “Examples of Homotopy Lie Algebras” (영어). arXiv:0903.5433. 

외부 링크편집