올뭉치

위상수학에서, 올뭉치(영어: fibration 파이브레이션[*]) 또는 올화(-化) 또는 파이버화(fiber化)는 올다발의 일반화이다. 올다발과 달리, 올들이 서로 호모토피 동치이지만 위상동형이 아닐 수 있다.

정의편집

위상 공간  ,   사이의 함수   및 위상 공간  에 대하여 다음 조건이 성립한다면,   에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다고 한다.

임의의
  • 호모토피  
  •  연속 함수  
에 대하여, 항상 다음 조건을 만족시키는 호모토피  가 존재한다.
  •  
  •  

즉, 다음 그림과 같다.

 

위상 공간  ,   사이의 함수  가 임의의 위상 공간  에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 후레비치 올뭉치(영어: Hurewicz fibration)라고 한다.

위상 공간  ,   사이의 함수  가 임의의 CW 복합체  에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다면, 세르 올뭉치(영어: Serre fibration)라고 한다.

후레비치 올뭉치 또는 세르 올뭉치  의,  에서의 (영어: fiber)은 원상  이다.

성질편집

 파라콤팩트 공간이라면, 올다발  는 항상 후레비치 올뭉치를 이룬다. 모든 후레비치 올뭉치는 세르 올뭉치이다.

만약  경로 연결 공간이라면, 후레비치 올뭉치  의 모든 올들은 서로 호모토피 동치이다. 그러나 올들은 (올다발과 달리) 서로 위상동형일 필요가 없다.

 경로 연결 공간인 올다발  의 올이  라면, 전체 공간  오일러 지표는 밑과 올의 오일러 지표의 곱이다.

 

이는 세르 스펙트럼 열을 통해 보일 수 있다.

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모든 올다발은 (모든 올이 서로 위상 동형인) 세르 올뭉치이다.

임의의 경로 연결 점을 가진 공간  에 대하여, 고리 공간   및 경로 공간  을 생각하자. 여기서  는 밑점 0을 가진 폐구간  이다. 그렇다면, 다음과 같은 세르 올뭉치가 존재한다.

 

여기서 사영 사상  는 다음과 같다.

 

역사편집

세르 올뭉치의 개념은 장피에르 세르가 1951년에 박사 학위 논문에서 도입하였다.[1] 후레비치 올뭉치의 개념은 비톨트 후레비치가 1955년에 도입하였다.[2]

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Serre, J.-P. (1951년 11월). “Homologie singulière des espaces fibres”. 《Annals of Mathematics (Second Series)》 (영어) 54 (3): 425–505. doi:10.2307/1969485. JSTOR 1969485. 
  2. Hurewicz, Witold (1955년 11월 15일). “On the concept of fiber space”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 41 (11): 956–961. doi:10.1073/pnas.41.11.956. JSTOR 89187. MR 0073987. PMC 534313. PMID 16589780. 

외부 링크편집