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추상대수학에서, 완전체(完全體, 영어: perfect field)는 그 갈루아 이론이 특별히 단순한 이다.

목차

정의편집

 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 체를 완전체라고 하며, 완전체가 아닌 체를 불완전체(영어: imperfect field)라고 한다.

  •  에 대한 기약 다항식은 분해 가능하다.
  •  의 모든 유한 확대분해 가능 확대이다.
  •  의 모든 대수적 확대분해 가능 확대이다.
  •  표수가 0이거나, 아니면 표수가  인 경우 모든  에 대하여   가 존재한다.
  •  표수가 0이거나, 아니면 표수가  인 경우 프로베니우스 사상   자기 동형 사상을 이룬다.

보다 일반적으로, 표수가 0이거나, 아니면 양의 소수 표수를 가지며 프로베니우스 사상자기 동형 사상을 이루는 가환환완전환(完全環, 영어: perfect ring)이라고 한다. (이는 하이먼 배스가 도입한 "완전환" 개념과는 다른 개념이다.)

완전 폐포편집

양의 표수  의 체  에 대하여,  를 포함하는   속의 가장 작은 체를 완전 폐포(完全閉包, 영어: perfect closure)  라고 한다. 이는  에 모든  에 대한  제곱근을 첨가하여 얻는다.

 

보다 일반적으로, 소수 표수  가환환  완전 폐포   를 포함하는 가장 작은 완전환이다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

임의의 표수  의 완전환  환 준동형  에 대하여,  가 되는 환 준동형  가 유일하게 존재한다.
 

이는 항상 존재하며, 체의 경우와 마찬가지로 모든  제곱근들을 첨가하여 얻는다.

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대수기하학을 제외하고, 수학에서 등장하는 대부분의 체들은 완전체이다.

완전체가 아닌 체의 예로는 표수가  인 체  에 대한 유리 함수체  가 있다.  의 경우  가 존재하지 않기 때문이다.

외부 링크편집