자기 동형 사상

자기 사상인 동형 사상

수학에서 자기 동형 또는 자기 동형 사상(自己同型寫像, 영어: automorphism)은 수학적 대상자기 사상동형 사상이다. 대상의 모든 구조를 유지하면서 대상을 자기 자신으로 사상하므로 이는 대상의 대칭을 나타낸다고 할 수 있다. 대상의 모든 자기 동형 사상의 집합은 그 대상의 대칭군이라고 할 수 있는 자기동형군을 형성한다.

케일리 그래프 간의 자기 동형 사상, 주기 표기법의 순열 및 두 케일리 표 사이의 함수로 표시된 클라인 4원군자기 동형 사상.

정의편집

범주  자기 동형 사상자기 사상동형 사상이다. 즉,  의 자기 사상  가 자기 동형 사상이라는 것은  를 만족하는 사상  이 존재한다는 것을 의미한다.

국소적으로 작은 범주  에서 대상  의 자기 동형 사상들은 사상의 합성에 대하여 을 이룬다. 이 군에서, 항등원은 항등 사상이며, 역원은 역사상이다. 이를 자기 동형군(自己同型群, 영어: automorphism group)이라고 하고,  로 쓴다. 즉, 자기 동형군   자기 사상 모노이드  가역원들로 구성된 부분 모노이드이다.

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  • 주어진 부호수의 대수 구조와 그 준동형구체적 범주 (또는 그 충만한 부분 범주)는 균형 범주를 이루므로, 자기 동형 사상은 단순히 전단사 함수자기 준동형이다.
    • 집합의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 함수(순열)이며, 집합  의 자기 동형군은 대칭군  이라고 한다.
    •   위의 벡터 공간의 범주  에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 선형 변환이며, 벡터 공간  의 자기 동형군은 일반선형군  이다.
    • 의 범주에서, 자기 동형 사상은 전단사 자기 군 준동형이다. 이는 구조가 변경되지 않은 상태로 유지되는 군 원소의 순열이라고 할 수 있다. 모든 군  에 대해 내부 자기 동형군  이고 중심  인 자연스러운 군 준동형  가 존재한다. 따라서  의 중심이 자명하다면,  는 자신의 자기동형군의 부분군으로 여길 수 있다.[1] 이 경우 자기 동형군  의 중심 역시 자명하므로, 위 과정을 반복하여 자기 동형탑을 만들 수 있다. 자명한 중심을 갖는 유한군자기 동형탑은 무한히 커지지 않음을 보일 수 있다.
  • 갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다.
  • 모노이드  을 하나의 대상  을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군   가역원들의 군
     
    이다. 특히, 만약  이라면,  이다.
  • 정수의 덧셈군  는 유일한 비항등 자기 동형 사상  을 갖는다. 그러나 환으로서의  는 항등 자기 동형 사상만 갖는다. 덧셈 역원을 취하는 함수는 모든 아벨 군의 자기 동형 사상이지만, 환이나 체에서는 일반적으로 (표수가 2가 아닌 경우) 자기 동형 사상이 아니다.
  • (와 환 준동형)의 범주에서, 체 자기 동형 사상은 전사 자기 환 준동형이며, 이는 자동적으로 전단사 함수가 된다. 유리수체  실수체  의 경우 항등이 아닌 자기 동형은 존재하지 않는다.  의 일부 부분체는 비항등 자기 동형을 갖는다. 예를 들어,   ( )는 이차 수체  의 자기 동형이다. 그러나 이러한 부분체의 자기 동형은  에서 제곱근이 있는 수의 성질을 유지할 수 없기 때문에   전체로 확장되지는 않는다. 복소수체  의 자기 동형 사상은 체의 확대  의 자기 동형 사상과 동치이다.   로 보내는  의 자기 동형 사상은 항등 함수켤레 복소수 밖에 없으며, 이 둘은 유일한  연속 자기 동형 사상이기도 하다. 선택 공리를 가정하면,  의 임의의 부분체의 임의의 자기 동형 사상은  의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있으며, 또한 자기 동형들의 집합의 크기는  이다.[2][3]
  • 사원수  의 환 자기 동형 사상은 스콜렘-뇌터 정리에 의해 내부 자기 동형 사상이 된다. 즉, 자기 동형 사상은 어떤 원소  에 대해   형식을 갖는다.[4] 사원수의 자기동형군은 3차원 공간에서의 회전군인 SO(3)동형이다.
  • 팔원수  의 자기동형군은 예외적 리 군 G₂이다.
  • 그래프(와 그래프 준동형)의 범주에서, 그래프의 자기 동형 사상은 변과 변이 아닌 것을 보존하는 꼭짓점의 순열이다. 특히 두 꼭짓점이 변으로 연결되면 순열에 의한 상도 연결되어 있다.
  • 기하학에서 자기 동형 사상은 공간의 운동이라고 할 수 있다. 몇몇 특수한 상황에서 사용되는 용어는 다음과 같다.

역사편집

최초의 군 자기 동형 사상(단순히 점의 자기동형군이 아닌 군의 자기 동형) 중 하나는 아일랜드 수학자 윌리엄 로언 해밀턴이 1856년 그의 정이십면체 대수(en:icosian calculus)에서 발견한 2차 자기 동형 사상이다.[5]

 는 항등원의 새로운 5제곱근이고, 이전의 5제곱근  과 완전한 상호 관계(perfect reciprocity)로 연결되어 있다.

내부 및 외부 자기 동형 사상편집

일부 범주(특히 , , 리 대수)에서 자기 동형 사상을 "내부" 및 "외부" 자기 동형 사상의 두 가지 유형으로 분리할 수 있다.

군의 경우, 내부 자기 동형 사상은 군 원소에 의해 만들어지는 켤레이다. 군  의 각 원소  에 대해  에 의한 켤레   으로 주어지는 연산이다. (대신  을 사용할 수도 있다.)  에 의한 켤레는 군 자기 동형 사상임을 쉽게 확인할 수 있다. Goursat의 보조정리에 따르면, 내부 자기 동형 사상은  정규 부분군을 형성한다. 이는  으로 표기한다.

내부 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상은 외부 자기 동형 사상이다. 몫군  은 일반적으로  으로 표기한다. 비자명한 원소는 외부 자기 동형을 포함하는 잉여류이다.

단위원을 갖는 또는 대수에서 가역원  에 대해 같은 정의를 적용할 수 있다. 리 대수의 경우 정의가 약간 다르다.

같이 보기편집

참고문헌편집

  1. PJ Pahl, R Damrath (2001). 〈§7.5.5 Automorphisms〉. 《Mathematical foundations of computational engineering》 Felix Pahl translation판. Springer. 376쪽. ISBN 3-540-67995-2. 
  2. Yale, Paul B. (May 1966). “Automorphisms of the Complex Numbers” (PDF). 《Mathematics Magazine》 39 (3): 135–141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301. 
  3. Lounesto, Pertti (2001), 《Clifford Algebras and Spinors》 2판, Cambridge University Press, 22–23쪽, ISBN 0-521-00551-5 
  4. 《Handbook of algebra》 3, Elsevier, 2003, 453쪽 
  5. 윌리엄 로언 해밀턴 (1856). “Memorandum respecting a new System of Roots of Unity” (PDF). 《Philosophical Magazine12: 446. 

외부 링크편집