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호몰로지 대수학에서, 완전 함자(完全函子, 영어: exact functor)는 두 아벨 범주 사이의, 짧은 완전열을 보존하는 함자이다.

정의편집

아벨 범주   가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  에서  로 가는 가법 함자(영어: additive functor)는 다음 성질을 만족시키는 함자  이다.

  • (가법성) 모든 대상  에 대하여,  아벨 군군 준동형이다.

아벨 범주    사이의 완전 함자는 다음 성질을 만족시키는 가법 함자  이다.

  • (완전열의 보존)   속의 임의의 짧은 완전열  에 대하여,    속의 짧은 완전열을 이룬다.

아벨 범주    사이의 가법 함자  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 왼쪽 완전 함자(영어: left-exact functor)라고 한다.

  •   속의 임의의 짧은 완전열  에 대하여,    속의 완전열을 이룬다.
  •   속의 임의의 완전열  에 대하여,    속의 완전열을 이룬다.

아벨 범주    사이의 가법 함자  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 오른쪽 완전 함자(영어: right-exact functor)라고 한다.

  •   속의 임의의 짧은 완전열  에 대하여,    속의 완전열을 이룬다.
  •   속의 임의의 완전열  에 대하여,    속의 완전열을 이룬다.

편집

아벨 범주동치는 항상 완전 함자이다.

아벨 범주  사영 대상  가 주어지면,

 

는 완전 함자이다. 마찬가지로, 단사 대상  가 주어지면,

 

는 완전 함자이다.

 에 대한 벡터 공간들의 범주  의 경우, 쌍대 공간

 

은 완전 함자

 

를 정의한다.

외부 링크편집