풍성한 범주

범주론에서 풍성한 범주(豐盛-範疇, 영어: enriched category)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다.

정의

모노이드 범주

$({\mathcal {M}},\otimes \colon {\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}},I\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {M}}),\alpha \colon ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {M}})\otimes {\mathcal {M}}\Rightarrow {\mathcal {M}}\otimes ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {M}}),\lambda \colon (I\otimes {\mathcal {M}})\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {M}},\rho \colon ({\mathcal {M}}\otimes I)\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {M}})$

가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {M}}$ 위의 풍성한 범주(영어: category enriched over ${\mathcal {M}}$) ${\mathcal {C}}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 모임 $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$. 이 모임의 원소를 ${\mathcal {C}}$의 대상(영어: object)이라고 한다.
• 임의의 $X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$에 대하여, $\hom _{\mathcal {C}}(a,b)\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {M}})$.
• 임의의 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$에 대하여, ${\mathcal {M}}$-사상 $\operatorname {id} _{X}\colon I\to \hom _{\mathcal {C}}(X,X)$. 이는 항등 사상을 나타낸다.
• 임의의 $X,Y,Z\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$에 대하여, ${\mathcal {M}}$-사상 $\circ _{XYZ}\colon \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)$. 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.

• (사상 합성의 결합 법칙)

  ${\begin{matrix}\left(\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\right)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{YZW}\otimes \operatorname {id} }}&\hom _{\mathcal {C}}(Y,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{XYW}}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\\\downarrow \scriptstyle \alpha &&&&\downarrow \scriptstyle \operatorname {id} \\\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \left(\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\right)&{\xrightarrow[{\operatorname {id} \otimes \circ _{XYZ}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)&{\xrightarrow[{\circ _{XZW}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\end{matrix}}$

• (사상 합성의 왼쪽 항등원)

  ${\begin{matrix}I\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\operatorname {id} _{Y}\otimes \operatorname {id} }}&\hom _{\mathcal {C}}(Y,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\\&{\scriptstyle \lambda }\searrow &\downarrow \scriptstyle \circ _{XYY}\\&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\end{matrix}}$

• (사상 합성의 오른쪽 항등원)

  ${\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes I&{\xrightarrow {\operatorname {id} \otimes \operatorname {id} _{X}}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,X)\\&{\scriptstyle \rho }\searrow &\downarrow \scriptstyle \circ _{XXY}\\&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\end{matrix}}$

모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$이 주어졌을 때, 작은(=대상 모임이 집합인) ${\mathcal {M}}$-풍성한 범주, ${\mathcal {M}}$-풍성한 함자, ${\mathcal {M}}$-풍성한 자연 변환은 2-범주 $\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat}$를 이룬다.

대칭 모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$이 주어졌을 때, $\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat}$는 풍성한 범주의 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 2-범주를 이룬다.

풍성한 함자

모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$ 위의 두 풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$, ${\mathcal {D}}$ 사이의 ${\mathcal {M}}$-풍성한 함자(영어: ${\mathcal {M}}$-enriched functor) $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 대상 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 대상 $F(X)\in {\mathcal {D}}$
• 두 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$에 대하여, ${\mathcal {M}}$ 속의 사상 $F_{XY}\colon \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• (항등원의 보존) 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  ${\begin{matrix}I\\{\scriptstyle \operatorname {id} _{X}}\downarrow &\searrow {\scriptstyle \operatorname {id} _{F(X)}}\\\hom _{\mathcal {C}}(X,X)&{\xrightarrow[{F_{XX}}]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(X))\end{matrix}}$

• (사상 합성의 보존) 임의의 대상 $X,Y,Z\in {\mathcal {C}}$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  ${\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ }}&\hom _{\mathcal {C}}(X,Z)\\{\scriptstyle F_{YZ}\otimes F_{XY}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle F_{XZ}\\\hom _{\mathcal {D}}(F(Y),F(Z))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))&{\xrightarrow[{\circ }]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Z))\end{matrix}}$

풍성한 자연 변환

모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$ 위의 두 풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$, ${\mathcal {D}}$ 사이의 두 ${\mathcal {M}}$-풍성한 함자 $F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 사이의 ${\mathcal {M}}$-풍성한 자연 변환(영어: ${\mathcal {M}}$-enriched natural transformation) $\eta \colon F\Rightarrow G$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 대상 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여, ${\mathcal {M}}$ 속의 사상 $\eta _{X}\colon I\to \hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  ${\begin{matrix}&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes I&\xrightarrow {G_{XY}\otimes \eta _{X}} &\hom _{\mathcal {D}}(G(X),G(Y))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))\\&{\scriptstyle \rho ^{-1}}\nearrow &&&&\searrow {\scriptstyle \circ }\\\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&&&&&&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(Y))\\&{\scriptstyle \lambda ^{-1}}\searrow &&&&\nearrow {\scriptstyle \circ }\\&&I\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&\xrightarrow {\eta _{Y}\otimes F_{XY}} &\hom _{\mathcal {D}}(F(Y),G(Y))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))\end{matrix}}$

만약 ${\mathcal {M}}$이 국소적으로 작은 닫힌 대칭 모노이드 범주일 때, ${\mathcal {M}}$은 스스로 ${\mathcal {M}}$-풍성한 범주를 이루며, 표현 가능 ${\mathcal {M}}$-풍성한 함자

$\hom _{\mathcal {D}}(F(X),-)\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {M}}$

$\hom _{\mathcal {D}}(-,G(Y))\colon {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {M}}$

가 존재한다. 이 경우, ${\mathcal {M}}$-풍성한 자연 변환 조건은 다음과 같이 쓸 수 있다.

• (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  ${\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&\xrightarrow {F} &\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))\\{\scriptstyle G}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \hom _{\mathcal {D}}(\operatorname {id} ,\eta _{Y})}\\\hom _{\mathcal {D}}(G(X),G(Y))&{\xrightarrow[{\hom _{\mathcal {D}}(\eta _{X},\operatorname {id} )}]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(Y))\end{matrix}}$

연산

반대 범주

만약 ${\mathcal {M}}$이 대칭 모노이드 범주일 때, ${\mathcal {M}}$-풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$의 반대 ${\mathcal {M}}$-풍성한 범주(영어: opposite ${\mathcal {M}}$-enriched category) ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$는 다음과 같다.

• $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })=\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$
• $\hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)$
• 사상의 합성

  $\hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(Y,Z)\otimes \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Y)\to \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Z)$

  는 다음과 같다.

  $\hom _{\mathcal {C}}(Z,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Y,X)\xrightarrow {\sigma } \hom _{\mathcal {C}}(Y,X)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Z,Y)\xrightarrow {\circ } \hom _{\mathcal {C}}(Z,X)$

• 항등 사상 $I\to \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,X)$는 단순히 $I\xrightarrow {\operatorname {id} _{X}} \hom _{\mathcal {C}}(X,X)$이다.

텐서곱

만약 ${\mathcal {M}}$이 대칭 모노이드 범주일 때, ${\mathcal {M}}$-풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$, ${\mathcal {D}}$의 텐서곱(영어: tensor product) ${\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}$는 다음과 같다.

• $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}})=\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})\times \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$
• $\hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X',Y'))=\hom _{\mathcal {C}}(X,X')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y')$
• 사상의 합성

  $\hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X',Y'),(X'',Y''))\otimes \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X',Y'))\to \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X'',Y''))$

  은 다음과 같다.

  $(\hom _{\mathcal {C}}(X',X'')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y',Y''))\otimes (\hom _{\mathcal {C}}(X,X')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y'))\xrightarrow {\cong } (\hom _{\mathcal {C}}(X',X'')\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,X'))\otimes (\hom _{\mathcal {D}}(Y',Y'')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y'))\xrightarrow {\circ \otimes \circ } \hom _{\mathcal {C}}(X,X'')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y'')$

• 항등 사상 $I\xrightarrow {} \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X,Y))$은

  $I\xrightarrow {\cong } I\otimes I\xrightarrow {\operatorname {id} _{X}\otimes \operatorname {id} _{Y}} \hom _{\mathcal {C}}(X,X)\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y)$

  이다.

풍성함의 망각

국소적으로 작은 모노이드 범주 ${\mathcal {M}}$이 주어졌을 때, 작은 ${\mathcal {M}}$-풍성한 범주의 2-범주 $\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat}$와 작은 범주의 2-범주 $\operatorname {Cat}$ 사이에 표준적인 표현 가능 2-함자

$\hom _{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }(1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} },-)\colon \operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} \to \operatorname {Cat}$

가 존재한다. 여기서 $1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }\in \operatorname {{\mathcal {M}}-Cat}$은 다음과 같다.

$\operatorname {Ob} (1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} })=\{\bullet \}$

$\hom _{1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }}(\bullet ,\bullet )=I$

예

국소적으로 작은 범주는 집합의 범주 $\operatorname {Set}$ 위의 풍성한 범주와 같다.

n-범주

작은 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$ 위의 풍성한 범주를 2-범주(영어: 2-category)라고 한다. 보다 일반적으로, $n$-범주의 범주 $n{\text{-Cat}}$ 위의 풍성한 범주를 $(n+1)$-범주(영어: $(n+1)$-category)라고 한다.

선형 범주

가환환 $R$ 위의 가군들의 범주 $\operatorname {Mod} _{R}$는 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는 $R$-선형 범주(-線型範疇, 영어: $R$-linear category)라고 한다.

준가법 범주

특히, $R=\mathbb {Z}$ (정수환)인 경우, $\operatorname {Mod} _{R}$는 아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$와 같다. $\operatorname {Ab}$-풍성한 범주는 준가법 범주(準加法範疇, 영어: preadditive category)라고 하고, $\operatorname {Ab}$-풍성한 함자는 가법 함자(加法範疇, 영어: additive functor)라고 한다.

준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치한다.

가법 범주(영어: additive category)는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)

같이 보기

• 내적 범주

참고 문헌

• Kelly, G. M. (1982). 《Basic Concepts of Enriched Category Theory》 (PDF). London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 64. Cambridge University Press. 

외부 링크

• “Category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Higher-dimensional category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Enriched category theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Enriched category”. 《nLab》 (영어). 
• “Enriched functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Strict n-category”. 《nLab》 (영어). 
• “Linear category”. 《nLab》 (영어). 
• “Linear functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Preadditive category”. 《nLab》 (영어). 
• “Additive functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Additive category”. 《nLab》 (영어).