양자역학 에서 위그너-에카르트 정리 (Wigner–Eckart theorem )는 텐서 연산자의 행렬 원소에 대한 정리다. 구면 텐서 연산자의 각운동량 고유상태에 대한 기댓값은 각운동량의 전체 크기에만 의존하고, 특정 방향에 의존하지 않는다는 것이다.
유진 위그너 와[ 1] 영어 : Carl Eckart )[ 2]
3차원 회전군 SO(3) 는 (국소적으로) 특수 유니터리 군 SU(2) 와 같다. SU(2)의 기약 표현 (irreducible representation )은 0 ,
1
2
{\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {1}{2}} }
1 ,
3
2
{\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {3}{2}} }
기약 표현
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
2
k
+
1
{\displaystyle 2k+1}
1
⊗
⋯
⊗
1
{\displaystyle \mathbf {1} \otimes \dotsb \otimes \mathbf {1} }
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
k
{\displaystyle k}
반정수 인 스피너 표현 (
1
2
{\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {1}{2}} }
3
2
{\displaystyle \textstyle \mathbf {\frac {3}{2}} }
SU(2) 표현
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
j
{\displaystyle j}
구면 텐서 (spherical tensor )라고 하고, 이러한 표현을 따라 변환하는 연산자를
j
{\displaystyle j}
구면 텐서 연산자 (spherical tensor operator )라고 한다.
k
{\displaystyle k}
T
q
(
k
)
{\displaystyle T_{q}^{(k)}}
q
=
−
k
,
−
k
+
1
,
…
,
k
{\displaystyle q=-k,-k+1,\dotsc ,k}
각운동량 고유 기저
|
j
,
m
⟩
{\displaystyle |j,m\rangle }
L
2
|
j
,
m
⟩
=
j
(
j
+
1
)
|
j
,
m
⟩
{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}|j,m\rangle =j(j+1)|j,m\rangle }
L
3
|
j
,
m
⟩
=
m
|
j
,
m
⟩
{\displaystyle L_{3}|j,m\rangle =m|j,m\rangle }
⟨
j
,
m
|
T
q
(
k
)
|
j
′
,
m
′
⟩
=
T
(
k
,
j
,
j
′
)
(
⟨
j
′
,
m
′
|
⊗
⟨
k
,
q
|
)
|
j
,
m
⟩
{\displaystyle \langle j,m|T_{q}^{(k)}|j',m'\rangle =T(k,j,j')(\langle j',m'|\otimes \langle k,q|)|j,m\rangle }
여기서
T
(
k
,
j
,
j
′
)
{\displaystyle T(k,j,j')}
k
{\displaystyle k}
j
{\displaystyle j}
j
′
{\displaystyle j'}
(
⟨
j
′
,
m
′
|
⊗
⟨
k
,
q
|
)
|
j
,
m
⟩
{\displaystyle (\langle j',m'|\otimes \langle k,q|)|j,m\rangle }
클렙슈-고르단 계수 다. 이 식을 위그너-에카르트 정리 라고 한다.
흔히 다루는 텐서 연산자는
k
=
0
{\displaystyle k=0}
스칼라 연산자나
k
=
1
{\displaystyle k=1}
⟨
j
,
m
|
T
|
j
′
,
m
′
⟩
=
T
(
j
,
j
′
)
δ
j
j
′
δ
m
m
′
{\displaystyle \langle j,m|T|j',m'\rangle =T(j,j')\delta _{jj'}\delta _{mm'}}
이다. (여기서
δ
{\displaystyle \delta }
크로네커 델타 다.) 벡터 연산자의 경우에는 위그너-에카르트 정리는 다음과 같다.
⟨
j
,
m
|
T
q
|
j
′
,
m
′
⟩
=
T
(
j
,
j
′
)
(
⟨
j
′
,
m
′
⊗
⟨
1
,
q
|
)
|
j
,
m
⟩
{\displaystyle \langle j,m|T_{q}|j',m'\rangle =T(j,j')(\langle j',m'\otimes \langle 1,q|)|j,m\rangle }
이다. 이 클렙슈-고르단 계수 는 다음과 같다.
⟨
j
1
,
m
;
1
,
0
|
j
1
+
1
,
m
⟩
=
(
j
1
−
m
+
1
)
(
j
1
+
m
+
1
)
(
2
j
1
+
1
)
(
j
1
+
1
)
,
⟨
j
1
,
m
;
1
,
0
|
j
1
,
m
⟩
=
m
j
1
(
j
1
+
1
)
,
⟨
j
1
,
m
;
1
,
0
|
j
1
−
1
,
m
⟩
=
−
(
j
1
−
m
)
(
j
1
+
m
)
j
1
(
2
j
1
+
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1},m;1,0|j_{1}+1,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1},m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}},\\\langle j_{1},m;1,0|j_{1}-1,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}.\end{aligned}}}
(나머지 계수는 모두 0이다.)
구면 1-텐서로서의 성분
T
q
{\displaystyle T_{q}}
T
i
{\displaystyle T_{i}}
i
=
x
,
y
,
z
{\displaystyle i=x,y,z}
T
±
=
1
2
(
∓
T
x
+
i
T
y
)
{\displaystyle T_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mp T_{x}+iT_{y})}
T
0
=
T
z
{\displaystyle T_{0}=T_{z}}
↑ Wigner, Eugene P. (1931). 《Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten-mechanik der Atomspektren 》. Braunschweig : F. Vieweg und Sohn. ↑ Eckart, Carl (1930). “The Application of Group theory to the Quantum Dynamics of Monatomic Systems ”. 《Reviews of Modern Physics 》 2 (3): 305–380. doi :10.1103/RevModPhys.2.305 .
