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정의편집

매끄러운 다양체  의 음악 동형은 그 접다발  공변접다발   사이의 벡터 다발 동형 사상이다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 표기된다.

 
 
 
 

이를 사용하여, 벡터장1차 미분 형식에 대응시킬 수 있으며, 또 그 역도 가능하다. 이는 다음과 같이 표기된다.

 
 

성질편집

존재와 유일성편집

임의의 매끄러운 다양체에서 음악 동형은 항상 존재하지만 일반적으로 유일하지 않다(사실, 임의의 매끄러운 다양체 위에는 항상 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다).

리만 구조 및 심플렉틱 구조와의 관계편집

음악 동형이 주어졌을 때, 각 점  에서 접공간   위에 쌍선형 형식

 
 

이 존재한다.

이 쌍선형 형식은 대칭 쌍선형 형식일 필요가 없으며, 일반적으로 다음과 같이 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해된다.

 
 

만약  이라면,    위의 준 리만 다양체 구조를 정의한다. 마찬가지로, 만약  이라면,    위의 준 심플렉틱 다양체(영어: almost symplectic manifold) 구조를 정의한다(만약 추가로  이라면, 이는 심플렉틱 다양체 구조를 이룬다).

반대로, 준 리만 다양체  가 주어졌을 때, 음악 동형

 
 
 
 

을 정의할 수 있다. 마찬가지로, 준 심플렉틱 다양체  가 주어졌을 때, 음악 동형

 
 

을 정의할 수 있다.

역사편집

‘음악 동형’이라는 용어는 마르셀 베르제르(프랑스어: Marcel Berger, 1927 ~ 2016)가 1971년에 이미 사용하였다.[1]:21

‘음악 동형’이라는 용어 및 그 기호는 일종의 말장난이다. 물리학에서는 보통 벡터장(접다발의 단면)을 윗첨자  로, 1차 미분 형식(공변접다발의 단면)을 아랫첨자  로 표기한다. 그런데 물리학과 달리 수학에서는 보통 이와 같은 첨자 표기법을 잘 사용하지 않으며, 다른 표기법이 필요하다. 이에 따라, 접다발을 공변접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “올리는” 것이므로, 음악의 올림표(♯)를 사용하여 표기하며, 반대로 공변접다발을 접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “내리는” 것이므로, 음악의 내림표(♭)를 사용하여 표기한다. 이 두 기호가 음악에서 유래하였으므로 이러한 벡터 다발 동형 사상에 ‘음악 동형’이라는 이름이 붙었다.

참고 문헌편집

  1. Berger, Marcel; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond. 《Le Spectre d’une variété riemannienne》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 194. Springer-Verlag. ISSN 0075-8434. doi:10.1007/BFb0064643. 
  • Lee, J. M. (2003). 《Introduction to Smooth manifolds》. Springer Graduate Texts in Mathematics 218. ISBN 0-387-95448-1. 
  • Lee, J. M. (1997). 《Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature》. Springer Graduate Texts in Mathematics 176. New York · Berlin · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6. 
  • Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). 《An Introduction to Clifford Algebras and Spinors》. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-878-292-6. 

외부 링크편집