임계점 (집합론)

집합론에서 임계점(臨界點, 영어: critical point)은 주어진 기본 매장이 보존하지 못하는 최소의 순서수이다.

정의

집합론의 언어 ${\mathcal {L}}_{\in }$를 생각하자. 추이적 집합 $X$, $Y$ 사이의, ${\mathcal {L}}_{\in }$ 언어의 기본 매장 $j\colon X\to Y$를 생각하자. 또한, $j$가 $N$에 속한 집합만을 사용한 ${\mathcal {L}}_{\in }$ 공식으로 정의된다고 하자.

그렇다면, $j$는 순서수를 순서수로 대응시킨다. 즉,

$j(X\cap \operatorname {Ord} )\subseteq Y\cap \operatorname {Ord}$

이다. 또한, $j$는 순증가 함수이며, $\omega$는 그 고정점이다.

$\forall \alpha ,\beta \in X\colon \alpha <\beta \implies j(\alpha )<j(\beta )$

$j(\omega )=\omega$

이 경우, $j$의 임계점은 $j$의 고정점인 최소의 순서수이다.

$\operatorname {crit} (j)=\min\{\alpha \in X\cap \operatorname {Ord} \colon j(\alpha )=\alpha \}$

$X$가 폰 노이만 전체 $V$라고 한다면, 기본 매장 $j\colon V\to Y$의 임계점은 항상 가측 기수이다. 즉, 가측 기수에 정의하는 극대 필터를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\{A\colon A\subseteq \operatorname {crit} (j)\in j(A)\}$

성질

기본 매장의 임계점의 개념을 사용하여, 다음과 같은 큰 기수들을 정의할 수 있다. 아래 표에서

• $\alpha$는 임의의 순서수를 뜻한다.
• $n$은 임의의 유한 순서수를 뜻한다.
• $j^{n}=\overbrace {j\circ j\circ \cdots \circ j} ^{n}$이다.

큰 기수 개념	기본 매장 $j\colon V\to M$의 성질
가측 기수	(임의)
$n$-초강기수(영어: superstrong cardinal)	$V_{j^{n}(\kappa )}\subseteq M$
$n$-거대 기수(영어: $n$-huge cardinal)	$^{j^{n}(\operatorname {crit} (j))}M\subseteq M$

0-거대 기수의 개념은 가측 기수의 개념과 동치이다.

이보다 약간 복잡한 예로, 다음과 같은 꼴의 큰 기수들을 정의할 수 있다.

$\kappa$가 ~기수라는 것은, 임의의 $x\in X_{\kappa }$에 대하여, 성질 $P_{x}$를 만족시키는 추이적 모형 $M$ 및 기본 매장 $j\colon V\to M$이 존재함을 뜻한다.

큰 기수 개념	$X_{\kappa }$	기본 매장 $j\colon V\to M$의 성질
초콤팩트 기수	순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$	$j(\kappa )>\alpha$, $^{\alpha }M\subseteq M$
강기수(영어: strong cardinal)	순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$	$V_{\alpha }\subseteq M$
우딘 기수(영어: Woodin cardinal)	함수 $f\colon \kappa \to \kappa$	$\operatorname {crit} j<\kappa$, $V_{j(f)(\kappa )}\subseteq M$, $\{f(\alpha )\colon \alpha <\kappa \}\subseteq \kappa$

외부 링크

• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Huge cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 6월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 19일에 확인함. 
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Strong cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 19일에 확인함. 
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Superstrong cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 19일에 확인함.