임계점 (집합론)

집합론에서, 임계점(臨界點, 영어: critical point)은 주어진 기본 매장이 보존하지 못하는 최소의 순서수이다.

정의편집

집합론의 언어  를 생각하자. 추이적 집합  ,   사이의,   언어의 기본 매장  를 생각하자. 또한,   에 속한 집합만을 사용한   공식으로 정의된다고 하자.

그렇다면,  는 순서수를 순서수로 대응시킨다. 즉,

 

이다. 또한,  는 순증가 함수이며,  는 그 고정점이다.

 
 

이 경우,  임계점 고정점인 최소의 순서수이다.

 

 폰 노이만 전체  라고 한다면, 기본 매장  의 임계점은 항상 가측 기수이다. 즉, 가측 기수에 정의하는 극대 필터를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

성질편집

기본 매장의 임계점의 개념을 사용하여, 다음과 같은 큰 기수들을 정의할 수 있다. 아래 표에서

  •  는 임의의 순서수를 뜻한다.
  •  은 임의의 유한 순서수를 뜻한다.
  •  이다.
큰 기수 개념 기본 매장  의 성질
가측 기수 (임의)
 -초강기수(영어: superstrong cardinal)  
 -거대 기수(영어:  -huge cardinal)  

0-거대 기수의 개념은 가측 기수의 개념과 동치이다.

이보다 약간 복잡한 예로, 다음과 같은 꼴의 큰 기수들을 정의할 수 있다.

 가 ~기수라는 것은, 임의의  에 대하여, 성질  를 만족시키는 추이적 모형  기본 매장  이 존재함을 뜻한다.
큰 기수 개념   기본 매장  의 성질
초콤팩트 기수 순서수    ,  
강기수(영어: strong cardinal) 순서수    
우딘 기수(영어: Woodin cardinal) 함수    ,  ,  

외부 링크편집

  • Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Huge cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 6월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 19일에 확인함. 
  • Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Strong cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 19일에 확인함. 
  • Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Superstrong cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 19일에 확인함.