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초콤팩트 기수

집합론에서, 초콤팩트 기수(超compact基數, 영어: supercompact cardinal)는 가측 기수보다 더 강한 폐포 성질을 갖춘 큰 기수이다. 초콤팩트 기수는 반사 성질을 보인다. 즉, 초콤팩트 기수 이상에서 일어나는 현상은 반드시 초콤팩트 기수 미만에서도 일어난다.

정의편집

순서수  기수  에 대하여, 다음 성질들을 만족시키는 추이적 모형  이 존재한다면   -초콤팩트 기수  라고 한다.

  • 기본 매장  가 존재한다. 여기서  폰 노이만 전체이다.
  •  의 임계점은  이다.
  •  
  • 임의의 함수  에 대하여,  이다.

초콤팩트 기수는 모든 순서수  에 대하여  -콤팩트한 기수이다.

성질편집

초콤팩트 기수는 큰 기수이다. 즉, 이러한 기수의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명할 수 없다.

모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

초콤팩트 기수는 반사 성질(영어: reflection property)을 보인다. 즉, 임의의 초콤팩트 기수   및 대부분의 기수 성질에 대하여, 이 성질을 만족시키는   이상의 기수가 존재한다면, 이 성질을 만족시키는   미만의 기수 역시 존재한다. 예를 들어, 만약 일반화 연속체 가설  미만에서 성립한다면, 이는 모든 기수에 대하여 성립한다.

만약 적어도 하나의 초콤팩트 기수가 존재한다면,  에 국한된 결정 공리  가 성립한다.[1] 하나의 초콤팩트 기수의 존재 대신, 무한히 많은 우딘 기수의 존재를 가정하여도 같은 결과가 성립한다.[2][3]

참고 문헌편집

  1. Woodin, W. Hugh (1988년 9월). “Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 85 (18): 6587–6591. doi:10.1073/pnas.85.18.6587. JSTOR 32425. PMC 282022. 
  2. Martin, Donald A.; Steel, John R. (1988년 9월). “Projective determinacy”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 85 (18): 6582–6586. doi:10.1073/pnas.85.18.6582. JSTOR 32424. PMC 282021. 
  3. Martin, Donald A.; John R. Steel (1989년 1월). “A Proof of Projective Determinacy”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 2 (1): 71–125. doi:10.1090/S0894-0347-1989-0955605-X. JSTOR 1990913. 

외부 링크편집