자기쌍대군
모든 부분군이 몫군과 동형이며 모든 몫군이 부분군과 동형인 군
군론에서 자기쌍대군(自己雙對群, 영어: self-dual group)은 모든 부분군이 어떤 몫군과 동형이며, 마찬가지로 모든 몫군이 어떤 부분군과 동형인 군이다.
정의 편집
군 가 다음 조건을 만족시키면 s-자기쌍대군(영어: s-self-dual group)이라고 한다.
- (부분군이 몫군과 동형) 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
군 가 다음 조건을 만족시키면 q-자기쌍대군(영어: q-self-dual group)이라고 한다.
- (몫군이 부분군과 동형) 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
s-자기쌍대군인 q-자기쌍대군을 자기쌍대군이라고 한다. 즉, 자기쌍대군은 부분군의 동형류의 집합과 몫군의 동형류의 집합이 일치하는 군이다.
성질 편집
모든 s-자기쌍대군은 멱영군이다. s-자기쌍대군의 부분군은 s-자기쌍대군이다. 자기쌍대 아벨 군의 꼬임 부분군은 자명하지 않다.
예 편집
분류 편집
자기쌍대군은 매우 제한적인 형태를 취한다. 특수한 종류의 자기쌍대군의 구조 정리로는 다음이 있다.
유한 자기쌍대군 편집
모든 유한 자기쌍대군 는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.[1]:Theorem 2[2]:Corollary 7.2
여기서
- 는 소수이다.
- 인 경우, 는 아벨 p-군이다.
- 인 경우, 는 아벨 p-군이거나, 이다.
모든 유한 s-자기쌍대군 는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.[1]:Theorem 2[2]:Theorem 7.1
여기서
- 는 소수이다.
- 인 경우, 는 아벨 p-군이거나, 표시 를 갖는 군과 지수 미만의 아벨 p-군의 직접곱이다.
- 인 경우, 는 아벨 p-군이거나, 표시 를 갖는 군과 지수 미만의 아벨 p-군의 직접곱이거나, 이다.
가산 아벨 자기쌍대군 편집
계수가 0인 가산 아벨 자기쌍대군 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[3]:Theorem 1, III
여기서
0이 아닌 유한 계수의 가산 아벨 자기쌍대군 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[3]:Theorem 1, IV
여기서
계수가 무한한 가산 아벨 자기쌍대군 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[3]:Theorem 1, IV
참고 문헌 편집
- ↑ 가 나 Ying, John H. (1973). “Finite groups with all subgroups isomorphic to quotient groups”. 《Archiv der Mathematik》 (영어) 24: 561–570. doi:10.1007/BF01228254. ISSN 0003-889X. MR 0338167. Zbl 0277.20027.
- ↑ 가 나 An, Lijian; Ding, Jianfang; Zhang, Qinhai (2011). “Finite self dual groups”. 《Journal of Algebra》 (영어) 341 (1): 35–44. doi:10.1016/j.jalgebra.2011.06.014. ISSN 0021-8693. MR 2824510. Zbl 1241.20024.
- ↑ 가 나 다 Fuchs, L.; Kertész, A.; Szele, T. (1953). “On a special kind of duality in group theory. I”. 《Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae》 (영어) 4: 169–178. doi:10.1007/BF02020362. ISSN 0001-5954. MR 0057883. Zbl 0052.02201.