수론에서 자연수 분할(自然數分割, 영어: integer partition)은 어떤 자연수를 양의 정수들의 합으로 나타내는 방법이다.

분할 10=5+4+1을 나타내는 페러스 그림

정의

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자연수  분할  은 다음을 만족시키는, 양의 정수들의 중복집합이다.

 

분할은 페러스 그림으로 나타낼 수 있다. 이 경우 각 가로의 길이는 분할의 각 원소의 크기에 대응한다. 분할수(分割數, 영어: partition number)   의 분할들의 수이다. 분할수의 값들은 다음과 같다 ( ).

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, … (OEIS의 수열 A000041)

  의 분할들 가운데, 원소가 중복되지 않는 것들의 수이다. 이는 다음과 같다 ( ).

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, … (OEIS의 수열 A000009)

성질

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생성 함수

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분할수의 생성함수는 다음과 같다.

 
 

여기서  데데킨트 에타 함수이며,  이다.

점근 공식

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매우 큰  에 대하여, 분할수  은 다음과 같은 점근 공식을 따른다. 이는 고드프리 해럴드 하디스리니바사 라마누잔이 1918년 하디-리틀우드 원 방법으로 유도하였고, 1942년에 에르되시 팔이 기초적인 기법만으로 재증명하였다.[1]

 

마찬가지로,  은 다음과 같은 점근 공식을 따른다.[2]

 

켤레 분할

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자연수  의 분할  켤레 분할(-分割, 영어: conjugate partition)  페러스 그림의 각 세로의 길이로 구성된 새로운  의 분할이다. 즉, 페러스 그림의 가로와 세로를 전치하여 얻는 분할이다. 구체적으로는 다음과 같다.

 
 

각 원소가   이하인  의 분할과 원소의 개수가   이하인  의 분할은 켤레 분할을 통해 일대일 대응한다. 따라서 각 원소가   이하인  의 분할의 수는 원소의 개수가   이하인  의 분할의 수와 같다. 마찬가지로 가장 큰 원소가   의 분할의 수는 원소의 개수가 정확히  인 분할의 수와 같다.[3]:331, Theorem 13.1.10

양의 정수 3을 생각해 보자.

3=3
3=2+1
3=1+1+1

으로 총 세 가지의 경우가 있으므로, 3의 분할수는  ,  가 된다.

4일 때는,

4=4
4=3+1
4=2+2
4=2+1+1
4=1+1+1+1

총 다섯 가지이므로, 4의 분할수는  ,  이 된다.

10의 분할  의 켤레 분할은  이 된다.

같이 보기

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각주

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  1. Erdős, Pál (1942). “On an elementary proof of some asymptotic formulas in the theory of partitions”. 《Annals of Mathematics (series 2)》 (영어) 43: 437–450. Zbl 0061.07905. 
  2. Ayoub, Raymond George (1963). 《An Introduction to the analytic theory of numbers》. Mathematical Surveys (영어) 10. American Mathematical Society. OCLC 476776. Zbl 0128.04303. 
  3. Sane, Sharad S. (2013). 《Combinatorial Techniques》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 65. Gurgaon: Hindustan Book Agency. doi:10.1007/978-93-86279-55-2. ISBN 978-93-80250-48-9. ISSN 2366-8717. 
  • George E. Andrews, Kimmo Eriksson (2004). 《Integer Partitions》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-60090-1. 
  • Andrews, George E. (1976). 《The Theory of partitions》. Encyclopedia of Mathematics and its Applications (영어) 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-63766-X. 
  • Apostol, Tom M. (1990) [1976]. 《Modular functions and Dirichlet series in number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 41 2판. Springer. ISBN 0-387-97127-0. Zbl 0697.10023. 
  • Macdonald, Ian G. (1979). 《Symmetric functions and Hall polynomials》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-853530-9. Zbl 0487.20007. 
  • Nathanson, M.B. (2000). 《Elementary methods in number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 195. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98912-9. Zbl 0953.11002. 
  • Bóna, Miklós (2002). 《A walk through combinatorics: An introduction to enumeration and graph theory》 (영어). World Scientific. ISBN 981-02-4900-4. 

외부 링크

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