정규 함수

집합론에서 정규 함수(正規函數, 영어: normal function)는 그 도함수를 취할 수 있는, 정의역과 공역이 순서수의 모임인 연속 증가 함수이다. 이를 사용하여 매우 큰 가산 순서수들을 나타낼 수 있다.

정의

집합론적 문제를 피하기 위하여, 비가산 도달 불가능한 기수 $\kappa$를 고르자. (만약 모임 이론을 사용한다면 $\kappa =\operatorname {Ord}$로 놓을 수 있다. 여기서 $\operatorname {Ord}$는 모든 순서수들의 모임이다.)

자기 함수

$f\colon \kappa \to \kappa$

가 다음 조건을 만족시킨다면 정규 함수라고 한다.

• 순증가 함수이다. 즉, 임의의 두 순서수 $\alpha <\beta <\kappa$에 대하여, $f(\alpha )<f(\beta )$이다.
• 순서 위상에 대하여 연속 함수이다. 즉, 극한 순서수 $\alpha <\kappa$에 대하여, $f(\alpha )=\textstyle \sup _{\beta <\alpha }f(\beta )$이다.

성질

정규 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.

• 임의의 $\alpha <\kappa$에 대하여, $f(\alpha )\geq \alpha$

증명:

귀류법을 사용하자.

$\alpha =\min\{\beta <\kappa \colon \beta >f(\beta )\}$

라면 $\alpha >f(\alpha )>f(f(\alpha ))$이자 $f(\alpha )\in \{\beta <\kappa \colon \beta >f(\beta )\}$이므로 모순이다.

• 임의의 순서수들의 집합 $S\subseteq \kappa$에 대하여, $\textstyle f(\sup S)=\sup _{s\in S}f(s)$

증명:

$f$가 증가 함수이므로 $\textstyle f(\sup S)\geq \sup _{s\in S}f(s)$이다. 따라서 $\textstyle f(\sup S)\leq \sup _{s\in S}f(s)$를 증명하면 족하다. 반대로, $\sigma =\sup S$에 대하여,

• 만약 $\sigma =\varsigma +1$이라면, $\sigma \in S$이며, 따라서 $f(\sup S)=f(\sigma )\geq \sigma =f(\sup S)$이다.
• 만약 $\nexists \varsigma \colon \sigma =\varsigma +1$이라고 하자. 그렇다면 $\textstyle f(\sup S)=\sup _{\alpha <\sup S}f(\alpha )\geq \sup _{\alpha \in S}f(\alpha )$이다.

도함수

베블런 고정점 정리(Veblen固定點定理, 영어: Veblen fixed-point theorem)에 따르면, $f$의 고정점들의 모임의 상한은 $\kappa$이다.

증명:

임의의 순서수 $\alpha <\kappa$에 대하여,

$\beta =\sup\{\alpha ,f(\alpha ),f(f(\alpha )),\dots \}$

를 정의하면,

$f(\beta )=f\left(\sup\{\alpha ,f(\alpha ),f(f(\alpha )),\dots \}\right)=\sup\{f(\alpha ),f(f(\alpha )),\dots \}=\beta$

이다.

이에 따라, 정규 함수 $f$의 도함수(導函數, 영어: derivative) $f'\colon \kappa \to \kappa$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$f'(\alpha )$는 $f$의 $\alpha$번째 고정점이다.

정규 함수의 도함수 역시 정규 함수이다. 따라서, 이를 반복하여 모든 유한 순서수 $n$에 대하여 도함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$f^{(\alpha +1)}=(f^{(\alpha )})'$

보다 일반적으로, 임의의 양의 극한 순서수 $\alpha$에 대하여, 그보다 작은 차수의 도함수들의 공통된 고정점들의 집합

$\bigcap _{\beta <\alpha }\left\{\gamma <\kappa \colon f^{(\beta )}(\gamma )=\gamma \right\}$

은 $\kappa$와 순서 동형이며, 따라서 이를 열거하여 $f^{(\alpha )}(\gamma )$를 위 공통 고정점 집합의 $\alpha$번째 원소로 정의할 수 있다.

이와 같이, $f$의 초한 도함수들을 모두 정의할 수 있다. 이 초한 함수열을 $f$의 베블런 위계(영어: Veblen hierarchy)라고 한다.

특히, 순서수 $\delta$에 대하여 $\delta$진 베블런 위계(영어: base-$\delta$ Veblen hierarchy)란 정규 함수 $\alpha \mapsto \delta ^{\alpha }$에 대한 베블런 위계를 뜻하며, 정규 함수를 명시하지 않고 "베블런 위계"라고 하면 $\alpha \mapsto \omega ^{\alpha }$의 베블런 위계를 뜻한다.

예

다음과 같은 함수들은 정규 함수이다.

• 임의의 순서수 $\beta <\kappa$에 대하여, $\alpha \mapsto \beta +\alpha$ (그러나 $\alpha \mapsto \alpha +1$은 정규 함수가 아니다)
• 임의의 순서수 $1\leq \beta <\kappa$에 대하여, $\alpha \mapsto \beta \cdot \alpha$
• 임의의 순서수 $2\leq \beta <\kappa$에 대하여, $\alpha \mapsto \beta ^{\alpha }$
• 알레프 수 $\alpha \mapsto \aleph _{\alpha }$
• 베트 수 $\alpha \mapsto \beth _{\alpha }$

(마지막 두 예는 도달 불가능한 기수는 알레프 함수와 베트 함수의 고정점이기 때문이다.^{:16, 20:78, Exercise 1.7.7(b)})

역사

정규 함수의 개념과 베블런 고정점 정리는 오즈월드 베블런이 1908년에 도입하였다. 베블런은 정규 함수를 "연속 증가 함수"(영어: continuous increasing function)라고 불렀다.^{:281, §1}

참고 문헌

• Glass, Frederick S. (1984년 5월). “Constructive ordinal notation systems” (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) 57 (3): 131–141. doi:10.2307/2689658. JSTOR 2689658. 2015년 9월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 20일에 확인함. 
• Miller, Larry W. (1976). “Normal functions and constructive ordinal notations”. 《The Journal of Symbolic Logic》 (영어) 41 (2): 439–459. doi:10.2307/2272243. JSTOR 2272243. 
• Gallier, Jean H. (1991년 9월 19일). “What’s so special about Kruskal’s theorem and the ordinal Γ₀? A survey of some results in proof theory”. 《Annals of Pure and Applied Logic》 (영어) 53 (3): 199–260. doi:10.1016/0168-0072(91)90022-E. 

외부 링크

• Baez, John Carlos (2016년 7월 7일). “Large countable ordinals (part 3)”. 《Azimuth》 (영어).