정칙 특이점
복소 상미분 방정식 이론에서, 정칙 특이점(正則特異點, 영어: regular singularity)은 선형 상미분 방정식의 해가 유리형 함수를 이루는 특이점이다. 정칙 특이점 근처에서는 프로베니우스 방법을 적용하여 미분 방정식의 해를 구할 수 있다.
정의
편집복소 변수 를 가지는 미지 함수 에 대한 n차 선형 상미분 방정식
을 생각하자. 여기서 들은 모두 유리형 함수이다.
만약 가 점 에서 차수 이하의 극점만을 갖는다면, 를 이 상미분 방정식의 정칙 특이점이라고 하며, 그렇지 않을 경우 비정칙 특이점(영어: irregular singular point)이라고 한다.
복소 무한대 를 포함하여, 비정칙 특이점을 갖지 않는 복소 선형 상미분 방정식을 푹스 미분 방정식(영어: Fuchsian differential equation)이라고 한다. 푹스 미분 방정식의 경우 프로베니우스 방법을 적용시킬 수 있다.
예
편집을 생각하고, 이라고 하자. 이 방정식은 에서 정칙 특이점을 갖는다. 반면, 로 변환하면
이므로, 에서의 특이점은 비정칙 특이점이다. 따라서 베셀 방정식은 푹스 미분 방정식을 이루지 못한다.
푹스 미분 방정식의 예로는 르장드르 방정식이나 초기하 미분 방정식 등이 있다.
외부 링크
편집- “Fuchsian equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Regular singular point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Irregular singular point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Analytic theory of differential equations”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular singular point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Irregular Singularity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- 이철희. “정칙특이점(regular singular points)”. 《수학노트》.