프로베니우스 방법

프로베니우스 방법(Frobenius方法, 영어: Frobenius method)은 특정한 종류의 선형 상미분 방정식을 거듭제곱 급수 전개로 푸는 방법이다.

정의

정칙 함수 $p_{1}(z),\dots ,p_{k}(z)$가 $z=0$에서 특이점을 갖지 않는다고 하자. 미지의 정칙 함수 $f(z)$에 대한 k차 선형 상미분 방정식

$f^{(k)}(z)+z^{-1}p_{k-1}(z)f^{(k-1)}(z)+\cdots +z^{1-n}p_{1}(z)f'(z)+z^{-n}p_{0}f(z)=0$

은 $z=0$에서 정칙 특이점을 갖는다. 그렇다면, 프로베니우스 방법은 $f$를 다음과 같은 급수를 가설 풀이로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다.

$f(z)=z^{r}+a_{1}z^{r+1}+a_{2}z^{r+2}+\cdots$

이 경우, 미지의 최저 차수 $r$는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은 $z\to 0$ 근처에서 다음과 같다.

$0=\left(r(r-1)\cdots (r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots (r-k+2)+\cdots +p_{1}(0)r+p_{0}(0)\right)z^{r-k}+{\mathcal {O}}(z^{r-k+1})$

따라서,

$0=r(r-1)\cdots (r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots (r-k+2)+\cdots +p_{1}(0)r+p_{0}(0)$

임을 알 수 있다. $r$에 대한 이 n차 다항식을 결정 다항식(영어: indicial polynomial)이라고 하며, $r$는 결정 다항식의 근이다.

• 만약 결정 다항식의 근들의 차가 정수가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다.
• 만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다.

$f(z)=z^{r}\sum _{m=1}^{k-1}\sum _{n=0}^{\infty }a_{m,n}(\ln z)^{m}z^{n}$

다만, 항상 순수하게 거듭제곱 급수 꼴인 해가 적어도 하나는 존재한다 (푹스 정리 영어: Fuchs’ theorem).

근이 겹치는 경우

결정 다항식의 근들이 $\{r_{1},\dots ,\}$이고, $\lambda _{i}$의 중복도가 $m_{i}$라고 하자. 또한, $i\neq j$인 경우 $r_{i}-r_{j}$가 항상 정수가 아니라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 방법에 의하여, 각 $r^{i}$에 대응되는 해들은 다음과 같은 꼴이다.

$f_{i,0}=z^{r_{i}}(\cdots )$

$f_{i,1}=f_{i,0}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_{i})}}+z^{r_{i}}(\cdots )$

$f_{i,2}=f_{i,1}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_{i})}}+z^{r_{i}}(\cdots )$

$\vdots$

$f_{i,m_{i}-1}=f_{i,m_{i}-2}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_{i})}}+z^{r_{i}}(\cdots )$

여기서 $(\cdots )$는 $z=0$에서 정칙 함수를 나타낸다. 이 경우, $z=0$을 반시계방향으로 한 번 돈 모노드로미는 다음과 같이 조르당 표준형이 된다.

${\begin{pmatrix}f_{i,m_{i}-1}\\f_{i,m_{i}-2}\\\vdots \\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_{i})&1\\&\exp(2\pi ir_{i})&1\\&&\ddots &\ddots \\&&&\exp(2\pi ir_{i})&1\\&&&&\exp(2\pi ir_{i})\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{i,m_{i}-1}\\f_{i,m_{i}-2}\\\vdots \\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}}$

낮은 차수 선형 방정식

1차 선형 방정식

1차 선형 방정식의 경우 결정 방정식은 1차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다. 미분 방정식

$f'(z)+p(z)f(z)/z=0$

의 경우, 결정 다항식은

$r=-p(0)$

이며, 이에 따라 해는

$f(z)=z^{-p(0)}(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots )$

의 꼴이다. 물론, 이 경우는 굳이 프로베니우스 방법을 쓰지 않아도 바로

$f(z)=\exp \left(C-\int _{0}^{z}{\frac {p(z')dz}{z'}}\right)=\exp \left(C-p(0)\ln z+p'(0)z+p''(0)z^{2}/4+\cdots \right)$

로 풀 수 있다. 이 경우, 반시계방향 회전 $z\to \exp(i\theta )z$에 대한 모노드로미는 프로베니우스 방법과 마찬가지로

$f(z)\to \exp(-2\pi ip(0))f(z)$

가 됨을 알 수 있다.

2차 선형 방정식

2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 2차 방정식이므로, 쉽게 풀 수 있다.

$r={\frac {1}{2}}\left(1-p_{1}(0)\pm {\sqrt {(p_{1}(0)-1)^{2}-4p_{2}(0)}}\right)$

이 경우 두 근을 $r_{1},r_{2}$라고 하자. 이 경우 다음과 같은 경우가 가능하다.

• 만약 두 근이 서로 겹치지 않고, 또한 $r_{1}-r_{2}$가 정수가 아니라면

$f_{1}(z)=z^{r_{1}}\left(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots \right)$

$f_{2}(z)=z^{r_{2}}\left(b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots \right)$

와 같은 꼴의 두 해가 존재한다. 이 경우, $z\to \exp(i\theta )z$와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.

${\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_{1})&0\\0&\exp(2\pi ir_{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}$

• 만약 두 근이 서로 겹친다면 ($r_{1}=r_{2}=r$) 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

$f_{1}(z)=z^{r}\left(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots \right)$

$f_{2}(z)=f_{1}(z)\ln {z}+z^{r}\left(b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots \right)$

이 경우, $z\to \exp(i\theta )z$와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.

${\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir)&0\\2\pi i\exp(2\pi ir)&\exp(2\pi ir)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}$

• 만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차 $r_{1}-r_{2}=n\in \mathbb {Z} ^{+}$가 양의 정수라면 두 근은 다음과 같은 꼴이다.

$f_{1}(z)=z^{r_{1}}(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots )$

$f_{2}(z)=Cf_{1}(z)\ln z+z^{r_{2}}\left(b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots \right)$

이 경우 $C=0$ 또는 $C=1$이다. 이 경우, $z\to \exp(i\theta )z$와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.

${\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_{1})&0\\2\pi iC\exp(2\pi ir_{1})&\exp(2\pi ir_{1})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}$

예

베셀 방정식

$f''+z^{-1}f'+(1-\alpha ^{2}/z^{2})f=0$

을 생각해 보자. 이 경우, 결정 다항식은

$r(r-1)+r-\alpha ^{2}$

이다. 따라서

$r=\pm \alpha$

가 된다. 즉, $\alpha \not \in \mathbb {Z}$라면 해는 $z=0$ 근처에서

$f(z)\propto z^{\pm \alpha }(1+\cdots )$

의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 베셀 함수 $\{J_{\alpha }(z),J_{-\alpha }(z)\}$에 의하여 주어지며, 이들은 $z=0$ 근처에서 다음과 같다.

$J_{\pm \alpha }(z)\sim {\frac {(z/2)^{\pm \alpha }}{\Gamma (1\pm \alpha )}}+\cdots$

여기서 $\cdots$는 $z=0$에서 정칙 함수이다.

만약 $\alpha =0$이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 $\{J_{0}(z),Y_{0}(z)\}$이며, $z=0$ 근처에서

$J_{0}(z)\sim 1+\cdots$

$Y_{0}(z)\sim (2/\pi )J_{0}(z)\ln z+\cdots$

이다. 여기서 $\cdots$는 $z=0$에서 정칙 함수이다.

만약 $\alpha =n\in \mathbb {Z} ^{+}$이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 $\{J_{n}(z),Y_{n}(z)\}$가 된다. 이 경우

$J_{n}(z)\sim (z/2)^{n}/n!+\cdots$

$Y_{n}(z)\sim (2/\pi )\pi J_{n}(z)\ln z+z^{-n}(\cdots )$

이다. 여기서 $\cdots$는 $z=0$에서 정칙 함수이다.

참고 문헌

• Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Frobenius method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Frobenius method”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fuchs’s theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.