상미분 방정식 (常微分方程式, 영어 : ordinary differential equation , 약자 ODE)은 구하려는 함수 가 하나의 독립 변수 만을 가지고 있는 미분 방정식 이다. 이와 반대되는 개념은 여러 변수에 대한 함수를 편미분하는 형식을 취하는 편미분 방정식 이다.
예를 들어, 뉴턴의 제2법칙 은 상미분 방정식으로 나타낼 수 있는데, 어떤 시간
t
{\displaystyle t}
에 대하여 거리가
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
, 힘 의 크기가
F
{\displaystyle F}
인 경우 운동법칙을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
m
d
2
x
(
t
)
d
t
2
=
F
(
x
(
t
)
)
{\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=F(x(t))}
상미분 방정식이 선형 인 경우는 해석적 인 방법으로 풀 수 있는 반면, 비선형인 경우에는 일반적인 해를 구하는 것이 힘들거나 불가능하다. 이러한 경우 근사적으로 해를 구할 수도 있다.
상미분 방정식은 과학 과 공학 의 다양한 분야에서 널리 응용된다.
변수
x
{\displaystyle x}
에 대한 함수
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)}
에 대해,
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
,
y
′
{\displaystyle y'}
의 도함수 로 구성된 어떤 방정식이
F
(
x
,
y
(
x
)
,
y
′
(
x
)
,
⋯
,
y
(
n
−
1
)
(
x
)
)
=
y
(
n
)
(
x
)
{\displaystyle F(x,y(x),y'(x),\cdots ,y^{(n-1)}(x))=y^{(n)}(x)}
와 같은 형태로 표현될 수 있는 경우 (
y
(
k
)
{\displaystyle y^{(k)}}
는
y
{\displaystyle y}
의
k
{\displaystyle k}
차 도함수 ), 이 방정식을 n 차 상미분 방정식 이라고 정의한다.
만약 방정식이
F
(
x
,
y
(
x
)
,
y
′
(
x
)
,
y
″
(
x
)
,
⋯
,
y
(
n
)
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle F(x,y(x),y'(x),\ y''(x),\ \cdots ,\ y^{(n)}(x))=0}
의 모양으로 표현된다면 이를 내재적 형태 (영어 : implicit form )라고 한다. 이에 반해 첫 번째 식의 경우는 명시적 형태 (영어 : explicit form )라고 한다.
상미분 방정식은 아래의 성질을 기준으로 분류할 수 있다.
상미분 방정식이 함수 y의 도함수 들의 선형 결합 인 경우, 즉
y
(
n
)
=
∑
i
=
0
n
−
1
a
i
(
x
)
y
(
i
)
+
r
(
x
)
{\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}
의 꼴로 표현할 수 있는 경우 이 상미분 방정식을 선형 상미분 방정식 (영어 : linear ODE )이라 한다. 여기서 a i (x )와 r (x )는 변수 x에 대한 연속 함수 이다. 함수 r (x )는 초항(source term)이라 부른다. 선형이 아닌 상미분방정식을 비선형 상미분 방정식 (영어 : nonlinear ODE )이라 한다.
r (x )=0인 선형 미분 방정식을 동차 선형 상미분 방정식 (영어 : homogeneous linear ODE )이라 한다. 동차가 아닌 경우 비동차 선형 상미분 방정식 (영어 : nonhomogeneous linear ODE )이라 한다.
여러 개의 상미분 방정식들로 이루어진 계를 연립 상미분 방정식 (영어 : system of ODE )이라 한다. y 가 함수들로 이루어진 벡터 y (x ) = [y 1 (x ), y 2 (x ),..., ym (x )]이고 F 가 y 와 그 도함수들에 대한 벡터 함수일 때, 아래의 상미분 방정식
y
(
n
)
=
F
(
x
,
y
,
y
′
,
y
″
,
…
,
y
(
n
−
1
)
)
{\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}
을 연립 상미분 방정식 꼴로 나타내면 다음과 같다.
(
y
1
(
n
)
y
2
(
n
)
⋮
y
m
(
n
)
)
=
(
f
1
(
x
,
y
,
y
′
,
y
″
,
…
,
y
(
n
−
1
)
)
f
2
(
x
,
y
,
y
′
,
y
″
,
…
,
y
(
n
−
1
)
)
⋮
f
m
(
x
,
y
,
y
′
,
y
″
,
…
,
y
(
n
−
1
)
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}
다음의 상미분 방정식
F
(
x
,
y
,
y
′
,
…
,
y
(
n
)
)
=
0
{\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}
이 주어졌을 때, 구간 I 에서 n 번 미분 가능하고
F
(
x
,
u
,
u
′
,
…
,
u
(
n
)
)
=
0
x
∈
I
{\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I}
을 만족하는 함수 u : I ⊂ R → R 를 이 상미분 방정식의 해 (영어 : solution )라고 한다.
y
′
+
p
(
x
)
y
=
0
{\displaystyle y'+p\left(x\right)y=0}
와 같은 1계 제차 선형 상미분 방정식은 변수분리를 통해
d
y
y
=
−
p
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{y}}=-p\left(x\right)dx}
로 나타낼 수 있고, 적분을 통해 아래와 같이 나타낼 수 있다.
ln
|
y
|
=
−
∫
p
(
x
)
d
x
+
c
∗
{\displaystyle \ln \left|y\right|=-\int _{}^{}{p\left(x\right)dx+c*}}
따라서 아래의 식으로 손쉽게 1계 제차 선형 상미분 방정식의 해를 구할 수 있다.
y
(
x
)
=
c
e
−
∫
p
(
x
)
d
x
{\displaystyle y\left(x\right)=ce^{-\int _{}^{}{p\left(x\right)dx}}}
, (
y
≠
0
{\displaystyle y\neq 0}
이면,
c
=
±
e
c
∗
{\displaystyle c=\pm e^{c*}}
)
이때,
c
=
0
{\displaystyle c=0}
이면 자명한 해
y
(
x
)
=
0
{\displaystyle y(x)=0}
를 얻는다.
2계 선형 상미분방정식은 역학, 파동, 열전도 등에서 많이 이용된다. 다음 식으로 표현되는 2계 제차 선형 상미분 방정식은
y
″
+
a
y
′
+
b
y
=
0
{\displaystyle y''+ay'+by=0}
은 다음과 같은 특성방정식(characteristic equation; 보조방정식)을 이용해 특성을 알아내고, 그 해를 구할 수 있다
λ
2
+
a
λ
+
b
=
0
{\displaystyle \lambda ^{2}+a\lambda +b=0}
특성방정식의 각각의 경우에 대한 일해 및 설명은 아래 표와 같다.
경우
근
기저
일반해
a
2
−
4
b
>
0
{\displaystyle a^{2}-4b>0}
서로 다른 실근
λ
1
,
λ
2
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}
e
λ
1
x
,
e
λ
2
x
{\displaystyle e^{\lambda _{1}x},e^{\lambda _{2}x}}
y
=
c
1
e
λ
1
x
+
c
2
e
λ
2
x
{\displaystyle y=c_{1}e^{\lambda _{1}x}+c_{2}e^{\lambda _{2}x}}
a
2
−
4
b
=
0
{\displaystyle a^{2}-4b=0}
실이중근
λ
=
−
1
2
a
{\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}a}
e
−
a
x
/
2
,
x
e
−
a
x
/
2
{\displaystyle e^{-ax/2},xe^{-ax/2}}
y
=
(
c
1
+
c
2
x
)
e
−
a
x
/
2
{\displaystyle y=\left(c_{1}+c_{2}x\right)e^{-ax/2}}
a
2
−
4
b
<
0
{\displaystyle a^{2}-4b<0}
공액 복소수
λ
1
=
−
1
2
a
+
i
ω
,
λ
2
=
−
1
2
a
−
i
ω
{\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}=-{\frac {1}{2}}a+i\omega ,\\&\lambda _{2}=-{\frac {1}{2}}a-i\omega \\\end{aligned}}}
e
−
a
x
/
2
cos
ω
x
e
−
a
x
/
2
sin
ω
x
{\displaystyle {\begin{aligned}&e^{-ax/2}\cos \omega x\\&e^{-ax/2}\sin \omega x\\\end{aligned}}}
y
=
e
−
a
x
/
2
(
A
cos
ω
x
+
B
sin
ω
x
)
{\displaystyle y=e^{-ax/2}\left(A\cos \omega x+B\sin \omega x\right)}
비제차 상미분 방정식은
y
(
n
)
+
a
n
−
1
y
(
n
−
1
)
+
⋯
+
a
1
y
′
+
a
0
y
=
r
(
x
)
{\displaystyle y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{\left(n-1\right)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=r\left(x\right)}
와 같이 우항의
r
(
x
)
{\displaystyle r\left(x\right)}
가 '0'이 아닌 경우를 말한다.
비제차 상미분 방정식의 일반해는
y
(
x
)
=
y
h
(
x
)
+
y
p
(
x
)
{\displaystyle y\left(x\right)=y_{h}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)}
와 같은 형태이다.
비제차 상미분 방정식을 풀이하는 방법에는 다음의 방법들이 있다.
비제차 상미분 방정식의
r
(
x
)
{\displaystyle r\left(x\right)}
를 배제하고, 제차방정식이라 생각하고 그 식의 일반해
y
h
(
x
)
{\displaystyle y_{h}\left(x\right)}
를 구한다.
우항의
r
(
x
)
{\displaystyle r\left(x\right)}
를 미정계수법 표에서 찾아 적당한 것을 택해 풀이한다.
선형이 아닌 상미분 방정식을 비선형 상미분 방정식 (영어 : nonlinear ordinary differential equation )이라 부른다. 비선형 상미분 방정식의 해 는 선형방정식에 비해 매우 복잡하다.
비선형 방정식의 풀이법으로는 다음이 있다.
또한, 베르누이 방정식 과 같은 특수한 경우에는 선형 상미분 방정식으로 변환시킬 수 있다.
Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15496-2 .