제곱 유군

체론에서 제곱 유군(-類群, 영어: square class group)은 제곱수의 곱셈에 대한 합동류들로 구성된 아벨 군이다.

정의 편집

체 $K$ 의 제곱 유군은 다음과 같은 몫군이다.

K^{\times }/(K^{\times })^{2}

여기서 $K^{\times }=K\setminus \{0\}$ 는 $K$ 의 가역원군이다. 즉, 0이 아닌 $K$ 의 원소 가운데, 제곱수에 대한 합동류들의 아벨 군이다. 제곱 유군의 원소를 제곱류(-類, 영어: square class)라고 한다.

제곱 유군이 자명군인 (즉, 모든 원소가 하나 이상의 제곱근을 갖는) 체를 이차 폐체(二次閉體, 영어: quadratically closed field)라고 한다.

체 $K$ 의 제곱 유군 $K^{\times }/(K^{\times })^{2}$ 은 정의에 따라 아벨 2-군이다. 즉, 모든 원소의 (군의 원소로서의) 차수가 2이다. 따라서, 만약 제곱 유군이 유한군이라면 그 크기는 2의 거듭제곱이다.

복소수체를 비롯한 모든 대수적으로 닫힌 체는 이차 폐체이다. 즉, 제곱 유군이 자명군이다. 짝수 표수의 유한체 역시 이차 폐체이다.

실수체의 제곱 유군은 2차 순환군이다.

\mathbb {R} ^{\times }/(\mathbb {R} ^{\times })^{2}=\{[+1],[-1]\}

홀수 표수의 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 의 제곱 유군은 2차 순환군이다. 예를 들어 다음과 같다.

$\mathbb {F} _{3}$ 의 두 제곱류들은 {1}, {2}이다.
$\mathbb {F} _{5}$ 의 두 제곱류들은 {1,4}, {2,3}이다.
$\mathbb {F} _{7}$ 의 두 제곱류들은 {1,2,4}, {3,5,6}이다.
$\mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[t]/(t^{2}+1)$ 의 두 제곱류들은 $\{1,2\}$ , $\{t,2t\}$ 이다.

홀수 소수 $p$ 에 대하여, $p$ 진수체 $\mathbb {Q} _{p}$ 의 제곱 유군의 크기는 4이다. 만약 $n$ 이 $p$ -제곱잉여가 아닌 임의의 정수라면, 4개의 제곱류들의 대표원은 $[1]$ , $[p]$ , $[n]$ , $[np]$ 이다.

2진수체 $\mathbb {Q} _{2}$ 의 제곱 유군의 크기는 8이다.

유리수체 $\mathbb {Q}$ 의 제곱 유군은 가산 무한 집합이다.