주 메뉴 열기

가역원

(가역원군에서 넘어옴)

추상대수학에서, 가역원(可逆元, 영어: invertible element 또는 unit 유닛[*])은 또는 모노이드에서 곱셈에 대한 역원이 있는 원소들이다.

정의편집

모노이드  의 원소  역원(영어: inverse)  

 

이 되는 원소  이다. 주어진 원소의 역원은 유일한데, 이는 만약  이 두 역원  을 갖는다면  가 되기 때문이다.

모노이드에서, 역원을 갖는 원소를 가역원이라고 한다. 모노이드  의 가역원들로 구성된 부분 집합

 

 의 부분 모노이드이자 을 이루며, 이를  가역원군(영어: group of invertible elements, group of units)이라고 하며,   또는   또는  으로 표시한다.

의 가역원(군)이란 곱셈 모노이드로서의 가역원(군)을 뜻한다.

범주론적 정의편집

범주론적 관점에서, 모노이드는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 생각할 수 있으며, 이 경우 모노이드의 원소들은 유일한 대상의 자기 사상들에 대응한다. 이 경우, 가역원은 모노이드의 동형 사상과 같으며, 가역원군은 유일한 대상의 자기 동형군과 같다. 즉, 가역원의 개념은 동형 사상의 개념의 특수한 경우이다.

임의의 작은 범주는 여러 개의 대상들을 가지며, 따라서 각 대상에 대하여 고유의 가역원군을 정의할 수 있다. 또한, 주어진 작은 범주에서 동형 사상이 아닌 사상들을 삭제하면 준군을 얻으며, 이 역시 가역원군의 일반화로 간주할 수 있다.

가역원층편집

환 달린 공간  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 두 열린집합  에 대하여

 
 

아벨 군 값의  가 존재하며, 이를  가역원층(可逆元層, 영어: sheaf of units)이라고 한다. (여기서  는 층의 단면군을 뜻하며,  는 두 층 단면군 사이의 제한 준동형을 뜻한다.)

성질편집

 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  
  •  나눗셈환이다.

 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  가 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.
  •  국소환이다.

 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  •  이다.
  •  이다.
  •  자명환이다.

이는 만약 0이 역원을 갖는다면  이 되기 때문이다.

편집

  •  이다.
  • 나눗셈환의 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다. 예를 들어,  이다.
  •  에 대한 행렬환  의 가역원군은 일반선형군  이다. 이는 가역행렬로 구성된 군이다.
  • 대수기하학에서, 스킴  의 구조층  의 가역원층   계수의 1차 층 코호몰로지   피카르 군이라고 한다.

외부 링크편집