직교 여원 격자

순서론에서 직교 여원 격자(直交餘元格子, 영어: orthocomplemented lattice, ortholattice)는 불 대수와 유사한 여원 연산을 갖는 유계 격자이다. 그러나 불 대수와 달리 분배 격자일 필요가 없으며, 심지어 모듈러 격자도 아닐 수 있다.

정의

순서 반대 보존성의 동치 조건

유계 격자 $(L,\land ,\lor ,\top ,\bot )$ 위의 함수 $\lnot \colon L\to L$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• (순서 반대 보존) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\leq y$라면 $\lnot x\geq \lnot y$
• (드 모르간 법칙 1) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $\lnot (x\land y)=\lnot x\lor \lnot y$
• (드 모르간 법칙 2) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $\lnot (x\lor y)=\lnot x\land \lnot y$

증명:

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 1: 임의의 $x,y\in L$에 대하여,

$x\land y\leq x$

$x\land y\leq y$

이므로

$\lnot (x\land y)\geq \lnot x$

$\lnot (x\land y)\geq \lnot y$

이다. 따라서, 상한의 정의에 따라

$\lnot (x\land y)\geq \lnot x\lor \lnot y$

이다.

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 2: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

드 모르간 법칙 1 ⇒ 순서 반대 보존: 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\leq y$라고 하자. 그렇다면,

$x=x\land y$

이므로

$\lnot x=\lnot (x\land y)=\lnot x\lor \lnot y$

이다. 따라서

$\lnot x\geq \lnot y$

이다.

드 모르간 법칙 2 ⇒ 순서 반대 보존: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

직교 여원 격자

유계 격자 $(L,\land ,\lor ,\top ,\bot )$ 위의 직교 여원(直交餘元, 영어: orthocomplementation) $\lnot \colon L\to L$은 다음 네 조건들을 만족시키는 함수이다.^{:52, §II.14:§2}

• (대합) 임의의 $x\in L$에 대하여, $\lnot \lnot x=x$
• (순서 반대 보존) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\leq y$라면 $\lnot x\geq \lnot y$
• (배중률) 임의의 $x\in L$에 대하여, $\lnot x\lor x=\top$
• (비모순율) 임의의 $x\in L$에 대하여, $\lnot x\land x=\bot$

직교 여원 격자(영어: orthocomplemented lattice)는 직교 여원이 부여된 격자이다. 이들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 직교여원 격자 사이의 직교 여원 격자 사상(영어: orthocomplemented lattice morphism) $f\colon L\to L'$은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

• 격자 사상이다. 즉, 임의의 $x,y\in L$에 대하여 $f(x\land y)=f(x)\land f(y)$이며, $f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)$이다.
• 임의의 $x\in L$에 대하여 $f(\lnot x)=\lnot f(x)$이다.

이 경우, 임의의 $x\in L$에 대하여

$f(\top )=f(x\lor \lnot x)=f(x)\lor \lnot f(x)=\top$

$f(\bot )=f(x\land \lnot x)=f(x)\land \lnot f(x)=\bot$

이므로 이는 자동적으로 유계 격자 사상이 된다.

가환성

직교 여원 격자 $L$에서, 두 원소 $x,y\in L$가 다음 조건을 만족시키면 $x$가 $y$와 가환한다(영어: commute)고 한다.^{:52, §II.14:§2}

$x=(x\land y)\lor (x\land \lnot y)$

이는 $x\operatorname {\mathsf {C}} y$로 표기한다.

가환 관계는 일반적으로 대칭 관계가 아니다. 즉, $x\operatorname {\mathsf {C}} y$이라면$y\operatorname {\mathsf {C}} x$일 필요는 없다.

직교 여원 격자 $L$의 두 원소 $x,y\in L$에 대하여, $x\leq y$라면 $x\operatorname {\mathsf {C}} y$이다.^{:52, Lemma II.14.1}

직교모듈러 격자

육각형 격자의 하세 도형

직교 여원 격자 $L$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 직교모듈러 격자(영어: orthomodular lattice)라고 한다.

• 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\leq y$이라면 $y\operatorname {\mathsf {C}} x$이다 (즉, $x\lor (\lnot x\land y)=y$이다).^{:§2:53, Theorem II.21}
• 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\lor (\lnot x\land (x\lor y))=x\lor y$이다.^:§2
• 가환 관계는 대칭 관계이다. 즉, 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\operatorname {\mathsf {C}} y$이라면 $y\operatorname {\mathsf {C}} x$이다.^{:Proposition 2.2(2):53, Theorem II.21}
• 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\operatorname {\mathsf {C}} y$이라면 $\lnot x\operatorname {\mathsf {C}} y$이다.^{:Proposition 2.2(3)}
• 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $x\leq y$이자 $\lnot x\land y=\bot$이라면 $x=y$이다.^{:Proposition 2.1(2):54, Exercise II.14.7(i)}
• 임의의 $x,y,z\in L$에 대하여, $x\leq y\leq z$라면 $x\lor (\lnot y\land z)=(x\lor \lnot y)\land z$이다.^{:54, Exercise II.14.7(ii)}
• 육각형 격자를 부분 격자로 갖지 않는다.^{:Proposition 2.1(3)}

여기서 육각형 격자(영어: hexagon lattice)는 다음과 같은 유계 격자이다.

$L=\{\bot ,a,b,c,d,\top \}$

$\bot \leq a\leq b\leq \top$

$\bot \leq c\leq d\leq \top$

성질

함의 관계

모든 불 대수는 직교 여원 격자이다.

직교여원 격자가 분배 격자일 필요는 없다.

직교 여원 격자 $L$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 불 대수이다.
• 분배 격자이다.
• 임의의 원소 $x\in L$에 대하여, $c\land x=\bot$이며 $c\lor x=\top$인 $c\in L$가 유일하게 존재한다. (이는 물론 $\lnot x$이다.)
• (엘칸 법칙 영어: Elkan’s law) 임의의 $x,y\in L$에 대하여, $\lnot (a\land \lnot b)=b\lor \lnot a\land \lnot b$

모든 모듈러 직교 여원 격자는 직교모듈러 격자이지만,^{:54, Exercise II.14.6} (이름과 달리) 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유일성

주어진 격자 위에 직교 여원이 유일할 필요는 없다. 다만, 분배 격자 위의 직교 여원은 만약 존재한다면 유일하다.

증명:

분배 격자 $L$의 원소 $x,c,c'\in L$에 대하여

$x\lor c=x\lor c'=\top$

$x\land c=x\land c'=\bot$

라고 하자. 그렇다면

$c'=c'\lor \top =c'\land (x\lor c)=(c'\land x)\lor (c'\land c)=\bot \lor (c'\land c)=c'\land c$

이다. 따라서

$c'\leq c$

이다. 마찬가지로 $c\leq c'$임을 보일 수 있으며, 따라서 $c=c'$이다.

직교 여원을 갖는 분배 격자를 불 대수라고 한다.

범주론적 성질

직교 여원 격자와 직교 여원 격자 준동형의 구체적 범주 $\operatorname {OLat}$는 대수 구조 다양체의 범주이므로 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 자유 대상이 존재한다.

예

양자 논리

 이 부분의 본문은 양자 논리입니다.

힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$의 부분 벡터 공간들은 포함 관계에 대하여 유계 격자를 이룬다. 이 경우, 직교여원

$\lnot V=V^{\perp }=\{u\in {\mathcal {H}}\colon \forall v\in V\colon u\perp v\}$

을 정의하면, 이는 직교모듈러 격자를 이룬다. "직교 여원"이라는 용어는 이에서 비롯하였다. 이 사실은 양자 논리에서 중요한 역할을 한다.

대합환

$(R,^{*})$가 대합환이라고 하자. 그렇다면,

$L=\{r\in R\colon r=r^{*}=r^{2}\}$

$r\leq s\iff r=rs\qquad (r,s\in L)$

$\lnot r=1-r\qquad (r,s\in L)$

로 놓으면, $L$은 직교모듈러 격자를 이룬다.^{:54, Exercise II.14.11(a,b)} 또한, 이 경우

$\forall r,s\in L\colon xy=yx\iff x\operatorname {\mathsf {C}} y$

이다.^{:54, Exercise II.14.11(c)} 즉, 환으로서의 가환성 개념이 직교 여원 격자로서의 가환성 개념과 일치한다.

외부 링크

• “Lattice with complements”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ockham algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Orthomodular lattice”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complemented lattice”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniquely complemented lattice”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Orthomodular lattice”. 《nLab》 (영어). 
• “Complemented lattice”. 《nLab》 (영어). 
• Jipsen, Peter. “Ortholattices”. 《Mathematical Structures》 (영어). 
• Jipsen, Peter. “Complemented lattices”. 《Mathematical Structures》 (영어). 
• Jipsen, Peter. “Complemented modular lattices”. 《Mathematical Structures》 (영어). 
• Jipsen, Peter. “Orthomodular lattices”. 《Mathematical Structures》 (영어). 
• Jipsen, Peter. “Modular ortholattices”. 《Mathematical Structures》 (영어). 
• Armstrong, John (2009년 5월 7일). “Orthogonal complements and the lattice of subspaces”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).