진약수의 합
정수론에서, 양의 정수 n 에 대한 진약수의 합 s( n )은, n의 자기 자신을 제외한 n 에 대한 모든 약수(진약수)의 합이다. 이를 수식으로 표현하면,
소수, 완전수, 사교수, 부족수, 과잉수, 불가촉 수를 묘사할 수 있으며, 진약수의 합 수열을 정의하는 데 사용할 수 있다.
예시
편집예를 들어, 12의 진약수(즉, 12를 제외한 12의 양의 약수)는 1, 2, 3, 4, 6이므로, 12에 대한 진약수의 합은 16이다. (1 + 2 + 3 + 4 + 6).
n = 1, 2, 3, ...에 대한 s(n)의 값은 다음과 같다.
숫자들 집단의 특징화
편집진약수의 합은 특정 숫자 집단을 묘사하는 데 사용할 수 있다.
- 1은 진약수의 합이 0인 유일한 수다. 어떤 숫자가 진약수의 합이 1인 경우에만 소수다.[1]
- 완전수는 진약수의 합이 자기 자신과 같고, 부족수는 진약수의 합이 자기 자신보다 작으며, 과잉수는 진약수의 합이 자기 자신보다 크다.[1]
- 준완전수(이러한 수가 존재하는 경우)는 진약수의 합이 n + 1 과 같은 숫자 n 이다. 근완전수 (2의 거듭제곱 포함되며, 지금까지 알려진 유일한 숫자)는 진약수의 합이 n − 1 과 같은 숫자 n이다.[1]
- 불가촉 수는 진약수의 합의 값으로 표현할 수 없는 수이다. 적어도 2와 5는 진약수의 합의 결과로 나올 수 없다고 관찰한 연구 Abu Mansur al-Baghdadi (서기 1000년경)도 있다.[1][2] 그리고 Paul Erdős는 불가촉 수가 무한하다는 것을 증명했다.[3] 5가 진약수의 합으로 유일하게 건드릴 수 없는 홀수라는 추측은 아직 증명되지 않았지만, 준소수 pq에 대해 진약수의 합은 p + q + 1이라는 관찰과 함께 Goldbach의 추측 형식에서 따를 것이다.[1]
Pollack & Pomerance (2016)에서 수학자 Erdős의 "가장 좋아하는 조사 주제" 중 하나가 진약수의 합이라고 언급했다.
반복
편집음이 아닌 정수 n 에 대한 진약수의 합 함수를 반복하면, 진약수의 합 수열 n, s (n), s(s(n)), ...이 생성된다 (이 수열에서는 s (0) = 0을 정의한다). 이러한 수열이 항상 소수로 끝나는지, 완전수인지, 사교수의 주기적인 수열로 끝나는지는 알 수 없다.[4]
관련 정보
편집- 약수 함수 : 숫자의 (x 의 거듭제곱) 양의 약수의 합
- William of Auberive, 진약수의 합에 관심이 있는 중세시대의 수비학자
같이 보기
편집각주
편집- ↑ 가 나 다 라 마 Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), “Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function”, 《Transactions of the American Mathematical Society》, Series B 3: 1–26, doi:10.1090/btran/10, MR 3481968
- ↑ Sesiano, J. (1991), “Two problems of number theory in Islamic times”, 《Archive for History of Exact Sciences》 41 (3): 235–238, doi:10.1007/BF00348408, JSTOR 41133889, MR 1107382, S2CID 115235810
- ↑ Erdős, P. (1973), “Über die Zahlen der Form und ” (PDF), 《Elemente der Mathematik》 28: 83–86, MR 0337733
|title=에 지움 문자가 있음(위치 26) (도움말) - ↑ Weisstein, Eric Wolfgang. “Catalan's Aliquot Sequence Conjecture”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
외부 링크
편집- Weisstein, Eric Wolfgang. “Restricted Divisor Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.