대수기하학에서, 초타원 곡선(超楕圓曲線, 영어: hyperelliptic curve)은 사영 직선 위의 2차 분지 피복을 이루는 대수 곡선이다.[1]

정의편집

  위의 초타원 곡선은 다음과 같은 데이터로 주어진다.[2]:287, Definition 7.4.7

  • 크룰 차원이 1인 스킴  
  • 매끄러운 사상  . 또한,  가 기하학적 기약 사상(영어: geometrically irreducible morphism)이라고 하자. (즉,  기약 스킴이다.)
  •   위의, 차수가 2인 분해 가능 유한 사상  . (즉, 체의 확대  는 2차 분해 가능 확대이다.) 여기서  사영 직선이다.

특히, 만약  대수적으로 닫힌 체라면, 그 위의 초타원 곡선은 다음과 같다.

분류편집

종수  의 초타원 곡선  는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선,  에서 아핀 좌표

 
 

를 고르자. 그렇다면, 만약  인 경우,  는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

 
 
 
 
 
 

이 경우  를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

 
 

즉, 다음과 같다.

 

표수가 2인 경우,  는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

 
 
 
 
 
 
 
 

이 경우  를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

 
 

즉, 다음과 같다.

 

표수가 2가 아닌 경우, 항상

 

를 통해  으로 놓을 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다.

 :  
 :  ,  

즉, 이 경우 가중 사영 공간

 

속에서 부분 대수다양체

 

를 이룬다. 이 경우  

 
 

이다.

분지점편집

표주가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체인 경우, 이러한 사상  는 짝수 개의 분지점을 갖는다. (분지점은  의 닫힌 점   가운데, 올  이 하나의 점만으로 구성된 경우이다. 분지점이 아니라면,  는 항상 두 개의 점으로 구성된다.) 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은  사영 공간에서의 근이다. 즉,

  •  라면, 분지점은   개의 근이다.
  •  라면, 분지점은   개의 근 및  이다.

이는 가중 사영 공간에서 대합

 

고정점이다.

표수가 2인 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은  의 근이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합

 

고정점이다.

다음 조건이 주어졌다고 하자.

  • 분지점의 수가  라고 할 때,  이다.

이 경우,   위에서  는 다음과 같은 꼴이 된다.

 
 

모듈러스 공간편집

 가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체이며 종수가  일 때, 초타원 곡선은 그  개의 분지점의 집합만으로 완전하게 결정된다. 즉, 그 모듈라이 공간

 

이다. 그 차원은

 

이다.

보다 일반적으로, 표수가 2가 아닌 체에서, 초타원 곡선은 가중 사영 공간에서

 

의 꼴로 표현되며,  는 (종수  의 경우)  차 2변수 형식(영어: binary form)이다. 따라서 그 분류는 2변수 형식의 분류로 귀결된다.

참고 문헌편집

  1. Menezes, Alfred J.; Wu, Yi-Hong; Zuccherato, Robert J. (1998). 〈An elementary introduction to hyperelliptic curves〉 (PDF). Koblitz, Neal. 《Algebraic Aspects of Cryptography》. Algorithms and Computation in Mathematics (영어) 3. Springer-Verlag. 155-178쪽. doi:10.1007/978-3-662-03642-6. 
  2. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2019년 1월 28일에 확인함. 

외부 링크편집