대수기하학 에서 가중 사영 공간 (加重射影空間, 영어 : weighted projective space )은 사영 공간 의 개념의 일반화이다.[1] [2] 보통 사영 공간에서 동차 좌표의 무게가 모두 같은 데 반하여, 가중 사영 공간에서는 각 동차 좌표가 서로 다른 무게를 가질 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
양의 정수
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
∈
Z
+
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n}\in \mathbb {Z} ^{+}}
그렇다면, 등급환 인 가환환
A
=
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle A=K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
deg
x
i
=
a
i
{\displaystyle \deg x_{i}=a_{i}}
을 정의할 수 있다. 그 사영 스펙트럼
Proj
A
=
P
K
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle \operatorname {Proj} A=\mathbb {P} _{K}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})}
을 무게
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})}
의 가중 사영 공간 이라고 한다. 물론, 이는 정수 계수 가중 사영 공간과
K
{\displaystyle K}
의 곱 이다.
P
K
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
)
=
P
Z
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
)
×
K
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})\times K}
즉, 만약
K
{\displaystyle K}
가 체 일 때,
K
×
{\displaystyle K^{\times }}
는
Spec
K
[
x
0
,
…
,
x
n
]
∖
Spec
K
[
x
0
,
…
,
x
n
]
/
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]\setminus \operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]/(x_{0},\dotsc ,x_{n})}
에 고정점 없이 다음과 같이 작용 한다.
λ
⋅
x
i
=
λ
a
i
x
i
{\displaystyle \lambda \cdot x_{i}=\lambda ^{a_{i}}x_{i}}
따라서, 이는 다음과 같은 몫으로 표현된다.
P
K
(
a
0
,
…
,
a
n
)
=
Spec
K
[
x
0
,
…
,
x
n
]
∖
Spec
K
[
x
0
,
…
,
x
n
]
/
(
x
0
,
…
,
x
n
)
G
m
K
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{n})={\frac {\operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]\setminus \operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]/(x_{0},\dotsc ,x_{n})}{\mathbb {G} _{\mathrm {m} }^{K}}}}
그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다.
{
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
K
n
+
1
}
∖
{
(
0
,
…
,
0
)
}
(
x
0
,
…
,
x
n
)
∼
(
λ
a
0
x
0
,
…
,
λ
a
0
x
n
)
∀
λ
∈
K
×
{\displaystyle {\frac {\{(x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n})\in K^{n+1}\}\setminus \{(0,\dotsc ,0)\}}{(x_{0},\dotsc ,x_{n})\sim (\lambda ^{a_{0}}x_{0},\dotsc ,\lambda ^{a_{0}}x_{n})\qquad \forall \lambda \in K^{\times }}}}
K
{\displaystyle K}
가 대수적으로 닫힌 체 라고 하자.
임의의 양의 정수
b
∈
Z
+
{\displaystyle b\in \mathbb {Z} ^{+}}
및
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,n\}}
에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다.
P
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
)
≅
P
(
d
a
0
,
d
a
1
,
…
,
d
a
i
−
1
,
a
i
,
d
a
i
+
1
,
…
,
d
a
n
)
≅
P
(
d
a
0
,
d
a
1
,
…
,
d
a
i
,
…
,
d
a
n
)
{\displaystyle \mathbb {P} (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})\cong \mathbb {P} (da_{0},da_{1},\dotsc ,da_{i-1},a_{i},da_{i+1},\dotsc ,da_{n})\cong \mathbb {P} (da_{0},da_{1},\dotsc ,da_{i},\dotsc ,da_{n})}
무게
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})}
가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 잘 만들어진 무게 (영어 : well formed weights )라고 하자.
임의의
n
{\displaystyle n}
개의 성분들의 최대공약수 는 1이다. 즉, 임의의
i
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{0,1,\dotsc ,n\}}
에 대하여,
gcd
{
a
0
,
…
,
a
i
^
,
…
,
a
n
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{a_{0},\dotsc ,{\widehat {a_{i}}},\dotsc ,a_{n}\}=1}
. (여기서
a
i
^
{\displaystyle {\widehat {a_{i}}}}
는
a
i
{\displaystyle a_{i}}
를 생략하라는 뜻이다.)
따라서, 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다.
정의에 따라, 가중 사영 공간은 원환 다양체 이다. 대수적으로 닫힌 체
K
{\displaystyle K}
위의 가중 사영 공간은
K
{\displaystyle K}
위의 사영 대수다양체 를 이룬다.[2] :Theorem 4.3.9
가환환
K
{\displaystyle K}
에 대하여, 가중 사영 공간
P
K
(
a
0
,
…
,
a
i
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{i})}
는 다음과 같이
n
+
1
{\displaystyle n+1}
개의 아핀 스킴 으로 구성된 열린 덮개 를 갖는다. 각
i
∈
{
0
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{0,\dotsc ,n\}}
에 대하여,
x
i
{\displaystyle x_{i}}
로 정의되는 열린집합
U
i
=
{
p
∈
P
K
(
a
0
,
…
,
a
n
)
:
(
x
i
)
⊈
p
}
{\displaystyle U_{i}=\{{\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{n})\colon (x_{i})\not \subseteq {\mathfrak {p}}\}}
은 아핀 스킴 이다.
특히,
K
{\displaystyle K}
가 대수적으로 닫힌 체 라고 하자. 그렇다면,
U
i
{\displaystyle U_{i}}
에 대응되는 가환환 은 다음과 같다.
A
i
=
K
[
x
0
,
…
,
x
^
i
,
…
,
x
n
]
/
μ
a
i
{\displaystyle A_{i}=K[x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n}]/\mu _{a_{i}}}
여기서
μ
a
i
=
{
λ
∈
K
×
:
λ
a
i
=
1
}
{\displaystyle \mu _{a_{i}}=\{\lambda \in K^{\times }\colon \lambda ^{a_{i}}=1\}}
는 1의 거듭제곱근 으로 구성된 순환군 이며, 그 작용 은
λ
⋅
x
j
=
λ
a
j
x
j
{\displaystyle \lambda \cdot x_{j}=\lambda ^{a_{j}}x_{j}}
이다. 구체적으로, 이 작용은 고정점 을 갖지 않으므로, 이 몫은 기하 불변량 이론 몫 (영어 : GIT quotient )
A
i
=
Spec
(
K
[
x
0
,
…
,
x
^
i
,
…
,
x
n
]
μ
a
i
)
{\displaystyle A_{i}=\operatorname {Spec} \left(K[x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n}]^{\mu _{a_{i}}}\right)}
이다. 여기서
R
G
{\displaystyle R^{G}}
는
G
{\displaystyle G}
의 작용에 불변인
R
{\displaystyle R}
의 원소들의 부분환 이다.
이 경우, 만약
(
a
0
,
…
,
a
^
i
,
…
,
a
n
)
≠
(
1
,
…
,
1
)
{\displaystyle (a_{0},\dotsc ,{\hat {a}}_{i},\dotsc ,a_{n})\neq (1,\dotsc ,1)}
인 경우, 이는 원점
(
x
0
,
…
,
x
^
i
,
…
,
x
n
)
=
(
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle (x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n})=(0,\dotsc ,0)}
에서 특이점 을 갖는다.
만약 모든 무게들이 1이라면, 무게 사영 공간은 (일반) 사영 공간 과 같다.
P
K
(
1
,
1
,
…
,
1
⏟
n
+
1
)
=
P
K
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(\underbrace {1,1,\dotsc ,1} _{n+1})=\mathbb {P} _{K}^{n}}
0차원 가중 사영 공간은 모두 0차원 사영 공간 과 스킴으로서 동형이다.
P
K
(
n
)
≅
P
K
0
=
Spec
K
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(n)\cong \mathbb {P} _{K}^{0}=\operatorname {Spec} K}
1차원 가중 사영 공간은 모두 1차원 사영 공간 과 스킴으로서 동형이다.
P
K
(
m
,
n
)
≅
P
K
(
m
,
1
)
≅
P
K
(
1
,
1
)
=
P
K
2
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(m,n)\cong \mathbb {P} _{K}(m,1)\cong \mathbb {P} _{K}(1,1)=\mathbb {P} _{K}^{2}}
2차원에서는 사영 공간과 동형이 아닌 가중 사영 공간이 존재한다. 그 가운데 가장 간단한 것은
P
K
(
1
,
1
,
n
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,n)}
이다. 이는 닫힌 몰입
P
K
(
1
,
1
,
n
)
→
P
K
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,n)\to \mathbb {P} _{K}^{n+1}}
[
x
:
y
:
z
]
↦
[
x
n
:
x
n
−
1
y
:
y
n
−
2
y
2
:
⋯
:
x
k
y
n
−
k
:
⋯
:
y
n
:
z
]
{\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x^{n}:x^{n-1}y:y^{n-2}y^{2}:\dotsb :x^{k}y^{n-k}:\dotsb :y^{n}:z]}
을 가지며, 이는 사영 대수다양체
P
K
(
1
,
1
,
n
)
≅
Proj
K
[
X
0
,
X
1
,
…
,
X
n
,
Y
]
(
{
X
i
−
1
X
j
−
X
i
X
j
−
1
:
i
,
j
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
−
1
}
}
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,n)\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X_{0},X_{1},\dotsc ,X_{n},Y]}{(\{X_{i-1}X_{j}-X_{i}X_{j-1}\colon i,j\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\})}}}
를 이룬다. 이는 좌표
Y
{\displaystyle Y}
에 의존하지 않으므로, 유리 곡선
Proj
K
[
X
0
,
…
,
X
n
]
/
(
{
X
i
−
1
X
j
−
X
i
X
j
−
1
:
i
,
j
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
−
1
}
}
)
{\displaystyle \operatorname {Proj} K[X_{0},\dotsc ,X_{n}]/(\{X_{i-1}X_{j}-X_{i}X_{j-1}\colon i,j\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\})}
위의 뿔을 이루며, 뿔의 꼭짓점은
[
0
:
0
:
⋯
:
0
:
1
]
{\displaystyle [0:0:\dotsb :0:1]}
이다.
예를 들어,
n
=
2
{\displaystyle n=2}
인 경우
P
K
(
1
,
1
,
2
)
→
P
K
3
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,2)\to \mathbb {P} _{K}^{3}}
[
x
:
y
:
z
]
↦
[
x
2
:
x
y
:
y
2
:
z
]
{\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x^{2}:xy:y^{2}:z]}
이며, 이는 다음과 같은 사영 대수다양체 와 동형이다.
P
K
(
1
,
1
,
2
)
≅
Proj
K
[
X
,
Y
,
Z
,
W
]
(
X
Z
−
Y
2
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}(1,1,2)\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X,Y,Z,W]}{(XZ-Y^{2})}}}
이는 3차원 사영 공간 속의 이차 초곡면 이다.
가환환
K
{\displaystyle K}
에 대하여, 사영 공간
P
K
n
=
Proj
K
[
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]}
를 생각하자. 그 위에는 대칭군
Sym
(
n
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (n+1)}
이 좌표
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{0},\dotsc ,x_{n})}
에 대한 순열 로 작용한다. 이에 대한 기하 불변량 이론 몫
P
K
n
/
Sym
(
n
+
1
)
=
Proj
(
K
[
x
0
,
…
,
x
n
]
Sym
(
n
+
1
)
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}/\operatorname {Sym} (n+1)=\operatorname {Proj} (K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)})}
을 생각하자. 이 경우,
K
[
x
0
,
…
,
x
n
]
Sym
(
n
+
1
)
{\displaystyle K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)}}
은 다음과 같은 기초 대칭 함수 로 생성된다.
X
1
=
x
0
+
x
1
+
⋯
+
x
n
{\displaystyle X_{1}=x_{0}+x_{1}+\dotsb +x_{n}}
X
2
=
x
0
x
1
+
x
0
x
2
+
⋯
+
x
i
x
j
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
{\displaystyle X_{2}=x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+\dotsb +x_{i}x_{j}+\dotsb +x_{n-1}x_{n}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
X
n
+
1
=
x
0
x
1
⋯
x
n
{\displaystyle X_{n+1}=x_{0}x_{1}\dotsm x_{n}}
deg
X
i
=
i
(
i
∈
{
1
,
…
,
n
+
1
}
)
{\displaystyle \deg X_{i}=i\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n+1\})}
따라서 이는 가중 사영 공간
P
K
n
/
Sym
(
n
+
1
)
=
Proj
(
K
[
x
0
,
…
,
x
n
]
Sym
(
n
+
1
)
)
=
P
K
(
1
,
2
,
…
,
n
,
n
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}/\operatorname {Sym} (n+1)=\operatorname {Proj} (K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)})=\mathbb {P} _{K}(1,2,\dotsc ,n,n+1)}
을 이룬다.
이 개념은 이미 1975년에 샤를 들로름(프랑스어 : Charles Delorme )이 ‘비등방 사영 공간’(프랑스어 : espace projectif anisotrope )이라는 이름으로 연구하였다.[3]