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정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 점  에서, 실수 선형 변환

 

을 정의할 수 있다. 여기서    에서의 접공간이다.

만약  전사 함수라면,   에서의 침몰이라고 하며,   정칙점(영어: regular point)이라고 한다. 만약  가 모든  에서 침몰이라면,  를 단순히 침몰이라고 한다.

(반대로, 만약  단사 함수라면  몰입이라고 한다.)

성질편집

존재편집

 차원 매끄러운 다양체   차원 매끄러운 다양체   사이에서, 정칙점을 하나 이상 갖는 매끄러운 함수  가 존재할 필요 조건 인 것이다.

점의 원상의 매끄러운 다양체 구조편집

매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수  가 주어졌다고 하자. 만약  에 대하여, 모든  의 원소가 정칙점이라면,   정칙치(正則値, 영어: regular value)라고 한다.

매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수  의 정칙치  에 대하여,  매끄러운 다양체를 이룬다.

국소 정규 형식편집

 차원 매끄러운 다양체   차원 매끄러운 다양체   사이의 매끄러운 함수  의 정칙점  이 주어졌다고 하자. 침몰 정리(영어: submersion theorem)에 따르면, 다음 조건을 만족시키는

가 항상 존재한다.

 

여기서

  •  은 사영 함수이다.

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임의의 두 매끄러운 다양체  ,  이 주어졌을 때, 사영 함수

 

은 침몰이다.

보다 일반적으로, 임의의 매끄러운 벡터 다발  은 침몰이다.

참고 문헌편집

  • Arnold, V. I.; Gusein-Zade, S. M.; Varchenko, A. N. (1985). 《Singularities of Differentiable Maps: Volume 1》. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9. 
  • Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), 《Curves and Singularities》, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4 
  • Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). 《Applicable differential geometry》. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9. 
  • do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). 《Riemannian Geometry》. ISBN 978-0-8176-3490-2. 
  • Frankel, Theodore (1997). 《The Geometry of Physics》. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1. 
  • Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). 《Riemannian Geometry》 3판. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0. 
  • Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. 《Differential manifolds》. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. 
  • Lang, Serge (1999). 《Fundamentals of Differential Geometry》. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0. 
  • Sternberg, Shlomo Zvi (2012). 《Curvature in Mathematics and Physics》. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5. 

외부 링크편집