침몰 (수학)

미분기하학에서, 침몰(沈沒, 영어: submersion)은 접공간 사이의 전사 함수를 유도하는 매끄러운 함수이다. 몰입의 쌍대 개념이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 두 매끄러운 다양체 $M$, $N$
• 매끄러운 함수 $f\colon M\to N$

그렇다면, 각 점 $x\in M$에서, 실수 선형 변환

$\mathrm {T} _{x}f\colon \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{f(x)}N$

을 정의할 수 있다. 여기서 $\mathrm {T} _{x}M$은 $M$의 $x$에서의 접공간이다.

만약 $\mathrm {T} _{x}f$가 전사 함수라면, $f$를 $x$에서의 침몰이라고 하며, $x$를 $f$의 정칙점(영어: regular point)이라고 한다. 만약 $f$가 모든 $x\in M$에서 침몰이라면, $f$를 단순히 침몰이라고 한다.

(반대로, 만약 $\mathrm {T} _{x}f$가 단사 함수라면 $f$를 몰입이라고 한다.)

성질

존재

$m$차원 매끄러운 다양체 $M$과 $n$차원 매끄러운 다양체 $N$ 사이에서, 정칙점을 하나 이상 갖는 매끄러운 함수 $f\colon M\to N$가 존재할 필요 조건은 $m\geq n$인 것이다.

점의 원상의 매끄러운 다양체 구조

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 $f\colon M\to N$가 주어졌다고 하자. 만약 $y\in N$에 대하여, 모든 $f^{-1}\{y\}\subseteq M$의 원소가 정칙점이라면, $y\in N$를 $f$의 정칙치(正則値, 영어: regular value)라고 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 $f\colon M\to N$의 정칙치 $y\in N$에 대하여, $f^{-1}\{y\}\subseteq M$은 매끄러운 다양체를 이룬다.

국소 정규 형식

$m$차원 매끄러운 다양체 $M$과 $n$차원 매끄러운 다양체 $N$ 사이의 매끄러운 함수 $f\colon M\to N$의 정칙점 $x\in M$이 주어졌다고 하자. 침몰 정리(영어: submersion theorem)에 따르면, 다음 조건을 만족시키는

• 열린 근방 $U\ni x$
• 열린 근방 $V\ni f(x)$
• 국소 좌표계(정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) $\phi \colon U\to \mathbb {R} ^{m}$
• 국소 좌표계(정의역과 상 사이의 미분 동형을 정의하는 단사 매끄러운 함수) $\chi \colon V\to \mathbb {R} ^{n}$

가 항상 존재한다.

$\chi \circ f\circ \phi ^{-1}=\pi _{m,n}\upharpoonright \phi (U)$

여기서

• $\pi _{m,n}\colon \mathbb {R} ^{m-n}\times \mathbb {R} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {R} ^{n}$은 사영 함수이다.

예

임의의 두 매끄러운 다양체 $M$, $N$이 주어졌을 때, 사영 함수

$\pi \colon M\times N\twoheadrightarrow N$

은 침몰이다.

보다 일반적으로, 임의의 매끄러운 벡터 다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow M$은 침몰이다.

참고 문헌

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• Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), 《Curves and Singularities》, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4 
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). 《Applicable differential geometry》. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9. 
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). 《Riemannian Geometry》. ISBN 978-0-8176-3490-2. 
• Frankel, Theodore (1997). 《The Geometry of Physics》. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1. 
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). 《Riemannian Geometry》 3판. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0. 
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. 《Differential manifolds》. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. 
• Lang, Serge (1999). 《Fundamentals of Differential Geometry》. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0. 
• Sternberg, Shlomo Zvi (2012). 《Curvature in Mathematics and Physics》. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5. 

외부 링크

• Rowland, Todd. “Submersion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.