케일리-딕슨 구성

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추상대수학에서, 케일리-딕슨 구성(Cayley-Dickson構成, 영어: Cayley–Dickson construction)은 어떤 환 위의 대수에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다.[1]:160–164, §Ⅱ.2.5 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다.

정의편집

가환환  가 주어졌다고 하자.

그 위의 *-대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  -가군  
  •  -가군 준동형  . (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있다.)
  •  -가군 준동형  . 이는 다음 두 조건을 만족시킨다.
    •  
    •  

또한,  가역원  이 주어졌다고 하자.

그렇다면,  -가군직합   위에 다음과 같은  -대수 구조 및 대합을 줄 수 있다.

 
 

즉, 새 원소  를 추가하며,  로 쓰면, 모든  에 대하여 다음과 같은 대수 관계를 준다.

 
 
 
 
 

그렇다면 이는 *-대수  를 이룬다. 또한, 이에 따라 표준적인 단사 *-대수 준동형  가 주어진다.

케일리-딕슨 구성에서 추가되는 원소를  와 같이 재정의할 경우,  가 된다. 즉, 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군의 원소  에 의하여 분류된다. 특히, 이차 폐체의 경우, 케일리-딕슨 구성의 각 단계는 유일하다.

성질편집

유사환   위의 대합 대수   및 그 케일리-딕슨 대수  에 대하여,  가 다음 조건을 만족시킨다면,  는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

 의 성질  의 성질
단위원  을 갖는다 단위원  를 갖는다
*-조건이 성립 *-조건이 성립
교환 법칙이 성립하며,  는 항등 함수 교환 법칙이 성립
교환 법칙·결합 법칙이 성립 결합 법칙이 성립
결합 법칙이 성립하며, *-조건이 성립 교대 대수

여기서  -조건은 다음과 같다.

  • 모든  에 대하여,  

여기서

 
 

는 각각 교환자결합자이다.

표수가 2가 아닌   위의 모든 합성 대수 로부터 0번 ~ 3번 ( 를 사용하는) 케일리-딕슨 구성으로부터 주어진다. 표수가 2인 의 경우, 모든 [[합성 대수는   자체 또는 2차원 합성 대수에 마찬가지로 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

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실수  를 스스로 위의 대수로 여겨, 케일리-딕슨 구성을 가하면, 다음과 같다.

대수 이름 성질
  실수 교환 법칙 · 결합 법칙 · 대합이 항등 함수 · 단위원 존재
  복소수 교환 법칙 · 결합 법칙 · 단위원 존재
  사원수 결합 법칙 · *-조건 · 단위원 존재
  팔원수 교대 대수 · *-조건 · 단위원 존재
  십육원수 *-조건 · 단위원 존재

이 대수들의 경우

 

이므로, 곱셈과 호환되는 노름  을 줄 수 있다.

역사편집

아서 케일리레너드 유진 딕슨[2] 이 도입하였다.

참고 문헌편집

  1. McCrimmon, Kevin (2004). 《A Taste of Jordan Algebras》. Universitext (영어). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95447-3. MR 2014924. 
  2. Dickson, Leonard Eugene (1919). “On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem”. 《Annals of Mathematics》. Second Series (영어) 20 (3): 155–171. doi:10.2307/1967865. ISSN 0003-486X. JSTOR 1967865. 

외부 링크편집