코넥스 관계

수학에서, 집합 X에 대한 어떤 이항관계 R이 X 에서 뽑은 가능한 모든 요소 쌍 사이를 (어떤 방식으로든) 연관짓는 경우 이를 코넥스 관계(Connex relation)라고 한다. 형식적으로, R

한편, 모든 같지 않은 두 요소의 쌍 사이를 연관짓는 경우는 준-코넥스 관계라고 한다. 코넥스 속성은 순서 이론에서 유래된 개념으로, 순서 이론에서는 전체 순서를 부분 순서가 코넥스 관계를 따르는 특수한 경우로 취급한다. 이에 고전적으로는 코넥스 성질을 전체 성질이라고도 일컫기도 하지만, 이 용어는 Right-totality (전사 함수)와 같은 전체(total)라는 용어가 사용되는 다른 무관한 개념들과 혼동을 줄 수 있는 단점이 있다. 일부 문헌에서는 코넥스 관계를 어떤 관계의 완전성으로 부르기도 한다. [출처 필요]

약식 설명편집

어떤 집합 X과 어떤 관계 R이 있을 때, 이 집합에서 어떤 두 개의 요소 x, y를 뽑아내든 x가 y에 대해 R하든지, 혹은 반대로 y가 x에 대해 R하다고 말할 수 있다면, 이 때 관계 R을 집합 X에 대한 코넥스 관계라고 한다. 대표적인 코넥스 관계의 예시는 다음과 같다.

  • (정수 집합 Z에 대해) 부등호 관계 ≤
  • (공무원의 직급, 즉 1~9급에 대해) 직급의 서열

형식 정의편집

어떤 집합 X에 대해 코넥스 관계 R은 집합 내 임의의 두 요소 x, y로 만들어진 모든 (x, y) 쌍에 대해, 적어도 xR혹은 yRx 둘 중 하나가 적법한 균일 이항관계이다. 보편적 관계 X × X에 대해서는 다음과 같이 표현할 수 있다. 

 RTR의 역관계.

한편 임의의 관계 R x≠y인 두 요소 x, y에 대해,  가 곧   의미한다면, 관계 R는 준-코넥스이다. 단위 관계 I를 이용하면 준-코넥스 관계를 다음과 같이 서술할 수도 있다.

 I 위의 가로줄은 여집합을 표시.

몇몇 문헌에서는 특별히 준-코넥스 특성을 따로 정의하지 않고, 후자의 특성을 바로 코넥스 특성이라고 이르기도 한다.[1][2][3]

참조 문헌편집

  1. Bram van Heuveln. “Sets, Relations, Functions” (PDF). Troy, NY. 2018년 5월 28일에 확인함. [깨진 링크(과거 내용 찾기)] Page 4.
  2. Carl Pollard. “Relations and Functions” (PDF). Ohio State University. 2018년 5월 28일에 확인함.  Page 7.
  3. Felix Brandt; Markus Brill; Paul Harrenstein (2016). 〈Tournament Solutions〉. F. Brandt; V. Conitzer; U. Endriss; J. Lang; A. Procaccia. 《Handbook of Computational Social Choice》. Cambridge University Press.  Page 3, footnote 1.