전순서 집합

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순서론에서 전순서 집합(全順序集合, 영어: totally ordered set, toset)는 임의의 두 원소를 비교할 수 있는 부분 순서 집합이다. 실수에서는 순서를 줄 수 있지만 허수복소수에서는 순서를 줄 수 없다.

정의

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원순서 집합  이 다음 조건을 만족시킨다면, 원전순서 집합(原全順序集合, 영어: pretotally ordered set, totally preordered set, weakly ordered set)이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  이거나  이다.

즉, 두 원소가 항상 비교 가능한 원순서 집합이다.

전순서 집합(全順序集合, 영어: totally ordered set, toset)은 원전순서 집합인 부분 순서 집합  이다. 즉, 이항 관계  는 다음 세 조건을 만족시킨다.

  • (추이성) 만약  라면  
  • (반대칭성) 임의의  에 대하여, 만약  이며  라면  
  • (완전성) 항상  이거나  

도약

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전순서 집합  도약(跳躍, 영어: jump)  은 다음 두 조건을 만족시키는 순서쌍이다.

  •  이다.
  •   가 존재하지 않는다.

도약이 없는 전순서를 조밀 순서라고 한다.

성질

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함의 관계

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다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

전순서 집합 원전순서 집합
부분 순서 집합 원순서 집합

연산

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원순서 집합들의 족  가 주어졌으며,  에 역시 원순서  가 부여되었다고 하자. 그렇다면, 분리합집합   위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.

 

이를  들의 순서합(영어: ordered sum)이라고 한다. (여기서   를 뜻하며,   를 뜻한다.)

이에 대하여 다음이 성립한다.

  • 만약  가 전순서 집합이며, 모든  가 원전순서 집합이라면, 그 순서합   역시 원전순서 집합이다.
  • 만약  가 전순서 집합이며, 모든  가 전순서 집합이라면, 그 순서합   역시 전순서 집합이다.
  • 만약 모든  부분 순서 집합이라면, 그 순서합   역시 부분 순서 집합이다.

사전식 순서

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전순서 집합들의 족  이 주어졌으며,   위에 정렬 순서가 주어졌을 때, 곱집합   위에 사전식 순서라는 전순서를 부여할 수 있다.

위상수학적 성질

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원전순서 집합에는 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 취급할 수 있다.

모든 원전순서 집합은 (순서 위상 아래) 완비 정규 공간이며, 모든 전순서 집합은 하우스도르프 완비 정규 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

완비 전순서 집합은 항상 콤팩트 공간이다.

모든 분해 가능 전순서 집합은 항상 사전식 순서를 준  의 부분 집합과 순서 동형이다.[1]:Theorem 4

범주론적 성질

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전순서 집합과 증가 함수구체적 범주  를 이룬다. 이는 작은 범주의 범주  충만한 부분 범주이다.

공집합이 아닌 유한 전순서 집합들의 범주  단체 범주(單體範疇, 영어: simplex category)라고 하며, 그 위의 준층 범주  단체 집합이라고 한다. 이는 호모토피 이론에서 매우 중요하게 사용된다.

분류

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모든 전순서 집합의 분류는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 속에서는 불가능하다. 예를 들어, 비교적 간단한 분류 문제인 수슬린 가설조차 증명하거나 반증할 수 없다. 그러나 특수한 경우에는 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

가산 조밀 전순서 집합

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조밀 가산 전순서 집합  은 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.

  • 공집합
  • 한원소 집합
  •   (유리수의 전순서 집합)
  •  . 이는  과 순서 동형이다.
  •  . 이는  과 순서 동형이다.
  •  . 이는  과 순서 동형이다.

특히, 최대 원소최소 원소를 갖지 않는 분해 가능 조밀 가산 전순서 집합  은 항상  와 순서 동형이다.

완비 분해 가능 조밀 전순서 집합

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전순서 집합  가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.

그렇다면,  는 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.

  • 공집합
  • 한원소 집합
  •   (실수의 전순서 집합). 이는  과 순서 동형이다.
  •  . 이는  과 순서 동형이다.
  •  . 이는  과 순서 동형이다.
  •   (확장된 실수). 이는  과 순서 동형이다.

특히, 완비 분해 가능 조밀 무한 전순서 집합은 (순서 동형 아래) 확장된 실수의 전순서 집합   밖에 없다.

증명:

 가 위 성질들을 만족시킨다고 하자. 분해 가능 공간의 정의에 의하여, 가산 조밀 집합  을 찾을 수 있으며,   위의 순서는 조밀 순서임을 쉽게 알 수 있다. 따라서  는 위와 같이 6개의 순서형 가운데 하나와 동형이며,   의 데데킨트 완비화와 순서 동형이다.

마지막 조건을 약화시킬 경우, 이들의 분류는 수슬린 가설에 의하여 좌우되는데, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 명제이다.

어떤 전순서 집합  에 대하여, 다음 네 조건이 동치이다.[1]:Theorem 6

  •  분해 가능 공간이며, 가산 개의 도약을 갖는다.
  • 다음 조건을 만족시키는 가산 집합  가 존재한다.
    • 임의의  에 대하여,  
  • 다음 조건을 만족시키는 가산 집합  가 존재한다.
    • 임의의  에 대하여,  
  •   부분 집합과 순서 동형이다. 즉, 단사 단조 함수  가 존재한다.

유한 집합 위의 (원)전순서

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크기 3의 집합   위에 존재할 수 있는 13개의 원전순서. 여기서   를 뜻한다. 이 가운데 맨 밖의, 검은 색 글씨의 6개는 전순서이다. 중간의, 푸른 색 글씨의 6개는 2개의 동치류들을 갖는 원전순서이다. 가운데의, 붉은 색 글씨의 1개는 1개의 동치류를 갖는 비이산 원순서이다.

유한 전순서 집합은 항상 정렬 집합이며, 따라서 그 크기에 따라 완전히 분류된다.

크기  유한 집합 위의 원전순서들의 수는 푸비니 수(영어: Fubini number)  이라고 한다.[2]:228 크기  의 유한 집합 위의 전순서들의 수는 계승  이다. 이들의 값은 다음과 같다. ((OEIS의 수열 A670), (OEIS의 수열 A142)).

  0 1 2 3 4 5 6 7
  1 1 3 13 75 541 4683 47293
  1 1 2 6 24 120 720 5040


모든 순서체는 전순서 집합이다. 예를 들어, 실수체  , 유리수체   등은 표준적인 순서를 부여하면 전순서 집합을 이룬다. 정수환  나 자연수의 모노이드   역시 전순서 집합이다. 이들 집합 가운데, 자연수의 집합을 제외한 나머지는 정렬 집합이 아니다.

아론샤인 직선

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아론샤인 직선(영어: Aronszajn line)은 다음 조건들을 만족시키는 전순서 집합이다.[3]:43–44, Chapter 14

  • 크기 이다.
  •   (최소 비가산 순서수)과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
  •   ( 의 반대 순서)와 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
  •  비가산 부분 집합과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.

아론샤인 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있다. 아론샤인 직선은 나흐만 아론샤인(폴란드어: Nachman Aronszajn, 1907~1980)이 도입하였다.

컨트리먼 직선

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원순서 집합들의 족  이 주어졌을 때, 곱집합   위에 원순서

 

를 줄 수 있다. 마찬가지로, 분리합집합   위에 원순서

 

를 줄 수 있다.

컨트리먼 직선(영어: Countryman line)은 다음 조건을 만족시키는 전순서 집합  이다.

  •  집합의 크기 이다.
  • 임의의 양의 정수  에 대하여,   개의 전순서 집합들의 분리합집합과 순서 동형이다.

컨트리먼 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있으며, 이는 사하론 셸라흐가 증명하였다.[4]

역사

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가산 조밀 전순서 집합의 분류 정리[5]:§9, 504–507분해 가능 완비 전순서 집합의 분류 정리[5]:§11, 510–512게오르크 칸토어가 1895년에 증명하였다.

각주

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  1. Geschke, Stefan (2016). “Separable linear orders and universality” (영어). arXiv:1606.00338. Bibcode:2016arXiv160600338G. 
  2. Comtet, Louis (1974). 《Advanced combinatorics: The art of finite and infinite expansions》 (영어). Dordrecht: Reidel Publishing Company. Zbl 0283.05001. 
  3. Just, Winfried; Weese, Martin (1997). 《Discovering modern set theory II: set-theoretic tools for every mathematician》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 18. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0528-2. Zbl 0887.03036. 
  4. Shelah, Saharon (1976년 7월). “Decomposing uncountable squares to countably many chains”. 《Journal of Combinatorial Theory Series A》 (영어) 21 (1): 110–114. doi:10.1016/0097-3165(76)90053-4. ISSN 0097-3165. 
  5. Cantor, Georg (1895). “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Erster Artikel)”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 46 (4): 481–512. doi:10.1007/bf02124929. ISSN 0025-5831. 

외부 링크

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