크라메르 공식

선형대수학에서, 크라메르 공식(Cramer公式, 영어: Cramer's rule) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크라메르 공식에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

정의편집

연립 일차 방정식

 

에서,  정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 공식이라고 한다.

 

여기서    번째 열을  로 대신하여 얻는 행렬이다.

증명편집

연립 일차 방정식

 
 
 
 

의 계수 행렬   -여인자 라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.

 
 

이에 따라, 각  번째 방정식에  을 곱한 뒤 모두 합하면

 

를 얻는다.  이므로, 양변을  로 나누면

 

를 얻는다.

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2개의 방정식의 경우편집

연립 일차 방정식

 
 

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

 

3개의 방정식의 경우편집

연립 일차 방정식

 
 
 

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

 

응용편집

미분기하학편집

크라메르 공식은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식  ,  이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고,  ,  라 정의한다.

여기서  의 방정식을 찾는 것은 크라메르 공식으로 해결할 수 있다.

먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.

 
 
 
 

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면

 
 

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 
 
 
 

따라서, 크라메르 공식을 적용하면 다음과 같다.

 

이것은 두 개의 야코비안 항이다.

 

유사하게  ,  ,  의 공식들도 유도할 수 있다.

역사편집

스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.

같이 보기편집

외부 링크편집