횡단성

(톰 횡단 정리에서 넘어옴)

미분기하학에서, 횡단성(橫斷性, 영어: transversality)은 두 부분 다양체 또는 (보다 일반적으로) 같은 공역을 갖는 두 함수 사이에 정의되는 대칭 관계이다. 횡단성은 작은 호모토피에 대하여 불변이며(안정성), 거의 모든 함수에 대하여 성립한다(일반성). 서로 횡단적인 두 부분 다양체의 교집합은 부분 다양체를 이룬다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체  ,  ,  
  • 매끄러운 함수  ,  

만약 다음 조건이 성립한다면,   가 서로 횡단적이라고 하며,  로 표기한다.

  • 임의의   에 대하여, 만약  라면,  이다.
 

부분 다양체  는 포함 사상  으로 여길 수 있다. 두 부분 다양체(또는 부분 다양체와 매끄러운 함수)가 서로 횡단적이라는 것은 이 포함 사상에 대한 것이다.

성질편집

매끄러운 다양체  의 부분 다양체   및 매끄러운 함수  가 주어졌다고 하자. 만약  라면,

 

 의 부분 다양체이며, 그 여차원 여차원과 같다.

 

특히, 만약   역시 매장이라고 하자. 즉, 두 부분 다양체  가 주어졌다고 하고,  라고 하자. 그렇다면,   역시 부분 다양체이며,

 

이다. 즉,   이다.

안정성편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 함수  
  • 매끄러운 호모토피  ,  

그렇다면, 만약  이라면,

 

이다. 즉, 어떤  에 대하여, 모든  에 대하여  이게 된다.

일반성편집

다음이 주어졌다고 하자.

또한,

  •  
  •  

라고 하자. 톰 횡단 정리(영어: Thom transversality theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 거의 모든  에 대하여,  이다.
  • 거의 모든  에 대하여,  이다.

여기서 “거의 모든”은   또는  르베그 측도에 대한 것이다. 즉, 이 조건이 실패하는  의 집합은 영집합이다.

역사편집

톰 횡단 정리는 르네 톰이 증명하였다.

외부 링크편집