멩거 스펀지

수학에서, 멩거 스펀지(Menger sponge), 멩거 큐브, 멩거 유니버셜 커브, 시어핀스키 큐브, 또는 시어핀스키 스펀지는 프랙탈 곡선이다. 1차원 칸토어 집합에 이어서 2차원 시어핀스키 카펫을 3차원으로 일반화했다. 이것은 1926년에 카를 멩거(Karl Menger)에 의해 위상 차원의 개념에 대한 그의 연구에서 처음 묘사되었다.

1/3분할을 반복하는 0단계,1단계,2단계,3단계의 멩거큐브

4회의 반복만으로 구현된 멩거 큐브

멩거 스펀지는 기존의 차원개념을 정수로 당연시 하던 고정관념에 실수차원이 존재한다는 사실을 증명하는 사례이다.

멩거큐브 단계

큐브의 단위 길이를 '1'로 둘경우 멩거 큐브내에서 ${{1} \over {3}}$분할로 3등분하는 단계적 반복으로 증가하는 빈공간의 정육면체의 개수와 빈공간으로 인해 증가하는 큐브의 면적 그리고 상대적으로 줄어드는 부피와의 관계는 아래와 같다.

길이: $L=\left({{1} \over {3}}\right)^{n}$

프랙털 차원은 ${{ln20} \over {ln3}}=2.726833027...$ 차원이다.

단계	정육면체-빈공간 정육면체 개수= 남은 정육면체	겉넓이	부피	이미지
0	$1-0=1$	$1\times 1\times 6=6$	$1\times 1\times 1=1^{3}=1$
1	$27-7=20$	$\left({{1} \over {3}}\times {{1} \over {3}}\right)\times \left((2\times 20)+(4\times 8)\right)$ $={{(2\times 20)} \over {9}}+{{(4\times 8)} \over {9}}={{72} \over {9}}=8$	${{1} \over {3^{1}}}\times {{1} \over {3^{1}}}\times {{1} \over {3^{1}}}\times 20={{20} \over {27}}=0.740740...$
2	$20\times (27-7)=400$	$\left({{1} \over {3^{2}}}\times {{1} \over {3^{2}}}\right)\times \left((2\times 20^{2})+(4\times 8^{2})\right)$ $=2\left({{20} \over {9}}\right)^{2}+4\left({{8} \over {9}}\right)^{2}={{1056} \over {81}}=13.037037...$	${{1} \over {3^{2}}}\times {{1} \over {3^{2}}}\times {{1} \over {3^{2}}}\times 400={{400} \over {729}}=0.5486968449...$
3	$400\times (27-7)=8000$	$2\left({{20} \over {9}}\right)^{3}+4\left({{8} \over {9}}\right)^{3}={{18048} \over {729}}=24.75720164...$	${{1} \over {3^{3}}}\times {{1} \over {3^{3}}}\times {{1} \over {3^{3}}}\times 8000={{8000} \over {19683}}=0.406442107...$
$n$	$(20)^{n}=N$	$2\left({{20} \over {9}}\right)^{n}+4\left({{8} \over {9}}\right)^{n}$	$\left({{20} \over {27}}\right)^{n}$

총 부피 =부피 x 개수

$V=L^{3}\times N=\left({{1} \over {3}}\right)^{3n}(20)^{n}=\left({{20} \over {27}}\right)^{n}$

멩거큐브2단계만으로 멩거큐브는 단위정육면체(멩거큐브0단계)면적의 2배를 넘어서며, 부피에서 ${{1} \over {2}}$배에 접근한다.

같이 보기

• 시에르핀스키 삼각형
• 프랙탈 차원
• 하우스도르프 차원