파비우스 함수
파비우스 함수는 야프 파비우스(Jaap Fabius)에 의해 발견된 모든 점에서 비 해석적인 무한히 미분가능한 함수의 예시이다. 이는 또한 뵈르 제센(Børge Jessen)과 오렐 위트너(Aurel Wintner)에 의해 다음의 푸리에 변환으로 쓰여졌다.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Mplwp_Fabius_function.svg/220px-Mplwp_Fabius_function.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Graph_of_the_Fabius_function.png/220px-Graph_of_the_Fabius_function.png)
파비우스 함수는 단위구간에서 정의되어 있고, 다음의 확률분포로 주어진다
여기서 ξn는 단위 구간에서 독립 연속균등분포 확률변수이다.
이 함수는 에서 함수식 를 만족한다; 여기서 은 의 도함수를 의미한다. 이 함수식을 만족하면서 를 음이 아닌 실수로 확장시키는 특별한 방법이 있다. 이 확장은 에서 로 정의되고 이 양의 정수일 때 에서 이다. 이 함수가 양수이거나 음수인 구간의 순열은 투에-모스 수열과 같은 패턴을 따른다.
참조
편집- Fabius, J. (1966), “A probabilistic example of a nowhere analytic function”, 《Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete》 5: 173–174, doi:10.1007/bf00536652, MR 0197656
|title=
에 지움 문자가 있음(위치 47) (도움말) - Jessen, Børge; Wintner, Aurel (1935), “Distribution functions and the Riemann zeta function”, 《Trans. Amer. Math. Soc.》 38: 48–88, doi:10.1090/S0002-9947-1935-1501802-5, MR 1501802
- Dimitrov, Youri (2006). 《Polynomially-divided solutions of bipartite self-differential functional equations》 (학위논문).
- Haugland, Jan Kristian (2016). “Evaluating the Fabius function”. arXiv:1609.07999.
이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다. |