준 리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
필바인
g
μ
ν
=
e
μ
a
e
ν
b
η
a
b
{\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}\eta _{ab}}
e
μ
a
∈
Ω
1
(
M
;
E
)
{\displaystyle e_{\mu }^{a}\in \Omega ^{1}(M;E)}
과 스핀 접속
e
ν
a
∇
μ
e
b
ν
=
ω
μ
a
b
{\displaystyle e_{\nu }^{a}\nabla _{\mu }e^{b\nu }=\omega _{\mu }^{ab}}
ω
μ
a
b
∈
Ω
1
(
M
;
⋁
2
E
)
{\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}\in \Omega ^{1}\left(M;\bigvee ^{2}E\right)}
을 생각하자. 여기서
E
{\displaystyle E}
SO
(
1
,
D
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (1,D-1)}
구조 벡터 다발 이다.
그렇다면, 아인슈타인-힐베르트 작용 을 다음과 같이 쓸 수 있다.
S
[
e
,
ω
]
=
1
2
κ
2
∫
d
D
x
(
det
e
)
e
a
μ
e
b
ν
R
μ
ν
a
b
{\displaystyle S[e,\omega ]={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e)\,e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }R_{\mu \nu }{}^{ab}}
R
μ
ν
a
b
=
2
∂
[
μ
ω
ν
]
a
b
+
2
ω
[
μ
a
c
ω
ν
]
c
b
{\displaystyle R_{\mu \nu }{}^{ab}=2\partial _{[\mu }\omega _{\nu ]}^{ab}+2\omega _{[\mu }^{ac}\omega _{\nu ]c}{}^{b}}
[1] :(7.10) 여기서
X
[
μ
1
…
μ
p
]
=
1
p
!
(
X
μ
1
…
μ
p
−
⋯
)
{\displaystyle X_{[\mu _{1}\dotso \mu _{p}]}={\frac {1}{p!}}\left(X_{\mu _{1}\dotso \mu _{p}}-\dotsb \right)}
는 규격화된 완전 반대칭화이며,
(
det
e
)
{\displaystyle (\det e)}
D
×
D
{\displaystyle D\times D}
정사각 행렬
(
e
μ
a
)
μ
,
a
∈
{
0
,
…
,
D
−
1
}
{\displaystyle (e_{\mu }^{a})_{\mu ,a\in \{0,\dotsc ,D-1\}}}
의 행렬식 이며, 부피 형식 의 성분이다.
이제, 이 범함수 를 (
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }}
범함수 대신) 필바인 과
e
μ
a
{\displaystyle e_{\mu }^{a}}
스핀 접속
ω
μ
a
b
{\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}
범함수 로 여겨, 변분법 을 적용할 수 있다. 이를 팔라티니 변분 이라고 한다. 이 경우, 필바인 의 도함수가 등장하지 않으므로, 필바인 은 보조장 을 이룬다.
그렇다면,
ω
μ
a
b
{\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}
오일러-라그랑주 방정식 은 다음과 같다.
ω
μ
a
b
=
e
ν
a
∇
μ
e
b
ν
{\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}=e_{\nu }^{a}\nabla _{\mu }e^{b\nu }}
여기서 우변은 물론
e
{\displaystyle e}
ω
μ
a
b
{\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}
비틀림 텐서 가 0인 레비치비타 접속 임을 의미한다.
또한, 이 작용에서
e
μ
a
{\displaystyle e_{\mu }^{a}}
오일러-라그랑주 방정식 은 마찬가지로 리치 곡률 이 0임, 즉
R
μ
a
=
e
μ
b
R
μ
ν
a
b
=
0
{\displaystyle R_{\mu }{}^{a}=e_{\mu }{}^{b}R_{\mu \nu }{}^{ab}=0}
임을 의미한다. 이는 아인슈타인 방정식 과 같다.
필바인 을 사용하지 않으면 일반적으로 스피너 를 정의할 수 없다. 필바인 을 사용하여 페르미온을 추가하고 팔라타니 변분을 적용할 경우, 스핀 접속 은 페르미온의 세기의 제곱에 비례하는 비틀림 텐서 를 갖게 된다.
구체적으로, 스피너장
ψ
{\displaystyle \psi }
∇
μ
ψ
=
(
∂
μ
+
1
4
ω
μ
a
b
γ
a
b
)
ψ
{\displaystyle \nabla _{\mu }\psi =\left(\partial _{\mu }+{\frac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab}\right)\psi }
ψ
∇
←
μ
=
∂
μ
ψ
¯
−
1
4
ω
μ
a
b
ψ
¯
γ
a
b
{\displaystyle \psi {\overset {\leftarrow }{\nabla }}_{\mu }=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-{\frac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}{\bar {\psi }}\gamma _{ab}}
를 정의하자. 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 작용을 적을 수 있다.
S
=
S
EH
+
1
2
∫
d
D
x
(
det
e
)
(
−
ψ
¯
γ
μ
∇
μ
ψ
+
ψ
¯
∇
←
μ
e
a
μ
γ
μ
ψ
)
{\displaystyle S=S_{\text{EH}}+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e)\,\left(-{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi +{\bar {\psi }}{\overset {\leftarrow }{\nabla }}_{\mu }e_{a}^{\mu }\gamma ^{\mu }\psi \right)}
이 경우, 위와 같이 팔라티니 변분을 취했을 때, 다음을 얻는다.[1] :(8.3)
ω
μ
a
b
=
ω
μ
a
b
[
e
]
−
1
4
κ
2
ψ
¯
γ
a
b
c
e
c
ν
ψ
{\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}=\omega _{\mu }^{ab}[e]-{\frac {1}{4}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma _{abc}e^{c\nu }\psi }
즉, 이는 비틀림 텐서
2
Γ
[
μ
ν
]
ρ
=
T
μ
ν
ρ
=
1
2
κ
2
ψ
¯
γ
μ
ν
ρ
ψ
{\displaystyle 2\Gamma _{[\mu \nu ]}^{\rho }=T_{\mu \nu }{}^{\rho }={\frac {1}{2}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma _{\mu \nu \rho }\psi }
에 해당한다.
이는 물리학적으로
S
{\displaystyle S}
범함수 로 여기는 것과 다른 결과이다.[1] :§8 중력 상수 가 매우 작으므로, 이 효과는 측정하기 매우 힘들다.)
이탈리아의 수학자 아틸리오 팔라타니(이탈리아어 : Attilio Palatini , 1889~1949)의 이름이 붙어 있다.[2]
↑ 가 나 다 Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine (2011년 11월). “Ingredients of supergravity”. 《Fortschritte der Physik》 (영어) 59 (11–12): 1118–1126. arXiv :1106.1097 . Bibcode :2011ForPh..59.1118F . doi :10.1002/prop.201100059 . ↑ Palatini, Attilio (1919). “Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton”. 《Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo》 (이탈리아어) 43 : 203–212.
![{\displaystyle S[e,\omega ]={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int \mathrm {d} ^{D}x\,(\det e)\,e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }R_{\mu \nu }{}^{ab}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931cf9f7f8f6272f4c0b4f943d849b7891b330a7)
![{\displaystyle R_{\mu \nu }{}^{ab}=2\partial _{[\mu }\omega _{\nu ]}^{ab}+2\omega _{[\mu }^{ac}\omega _{\nu ]c}{}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6a1ce2198dcc4b39ea98212955a0243c6e259d)
![{\displaystyle X_{[\mu _{1}\dotso \mu _{p}]}={\frac {1}{p!}}\left(X_{\mu _{1}\dotso \mu _{p}}-\dotsb \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501e244b0f25bfa4a9574b528b0cc52c84707ae5)
![{\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}=\omega _{\mu }^{ab}[e]-{\frac {1}{4}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma _{abc}e^{c\nu }\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d07ec332f232a35586ade9848ec5d2438a84633)
![{\displaystyle 2\Gamma _{[\mu \nu ]}^{\rho }=T_{\mu \nu }{}^{\rho }={\frac {1}{2}}\kappa ^{2}{\bar {\psi }}\gamma _{\mu \nu \rho }\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c04a223c1ba2da3a8f0e9b12be77153a54465f)
