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팔팅스의 정리(영어: Faltings’ theorem) 또는 모델 가설(Mordell conjecture)은 유리수체에 대하여 정의된, 종수가 2 이상인 대수 곡선은 유한개의 유리점을 가진다는 정리다. 디오판토스 방정식의 이론에 핵심적인 역할을 한다.

목차

역사편집

1922년에 루이스 모델은 종수가 1인 대수 곡선(타원 곡선)의 유리점에 대한 모델-베유 정리를 증명하였고, 이에 대한 자연스러운 확장으로 종수가 2 이상인 대수 곡선에 대하여 이 정리를 추측하였다. 이후 이는 "모델 가설"이라고 불리게 되었다.

모델 가설은 오랫동안 난제로 남아 있었다. 1983년 독일수학자 게르트 팔팅스가 모델 가설을 증명하였고,[1] 그 뒤 "팔팅스의 정리"로 불리게 되었다. 팔팅스는 모델 가설을 테이트 가설(Tate conjecture)로 축소시킨 뒤, 네롱 모형(Néron model) 등 대수기하학적 기법을 사용하여 모델 가설을 증명하였다.

팔팅스 이후 여러 새로운 증명법들이 발견되었다. 파울 보이타(Paul Vojta)는 팔팅스와 전혀 다른 방법으로 팔팅스의 정리를 증명하였다. 엔리코 봄비에리가 이 증명을 단순화한 증명을 1990년 제시하였다.[2]

개요편집

다음과 같은 아주 일반적인 질문을 할 수 있다. 유리수체 위에서 정의된 비특이 대수 곡선 위의 유리점들의 수가 몇 개인가?

이 문제의 답은 대수 곡선의 종수(genus) g에 따라 다르다. 다른 많은 정수론에서의 결과들처럼, 3가지의 경우가 있다: g = 0, g = 1, g>1.

g=0인 경우는 아주 오랫동안 답이 잘 알려져 있었다. g=1인 경우, 수학자 모델이 결과를 증명했으며, 이 결과를 본 후, 모델 자신이 g>1인 경우에 대해서 가설을 남겼는데, 이것이 바로 유명한 모델 가설이다.

정의편집

팔팅스 정리에 따르면, 유리수체 위에 정의된, 종수가  대수 곡선  은 유한개의 유리점들을 가진다.

팔팅스 정리는 대수 곡선의 유리점의 분류를 다음과 같이 완성시킨다. 유리수체에 대한 임의의 대수 곡선의 유리점의 수는 종수에 따라 다음과 같다.

참고 문헌편집

  1. Faltings, Gerd (1983). “Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern”. 《Inventiones Mathematicae》 (독일어) 73 (3): 349–366. doi:10.1007/BF01388432. 
  2. Bombieri, Enrico (1990). “The Mordell conjecture revisited”. 《Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.》 (영어) 17 (4): 615–640. 
  • Hindry, Marc; Joseph H. Silverman (2000). 《Diophantine geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 201. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98981-1. 
  • S. Lang (1997). 《Survey of Diophantine geometry》 (영어). Springer. 101–122쪽. ISBN 3-540-61223-8. 

외부 링크편집