n번째 페리 수열
F
n
{\displaystyle F_{n}}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
F
n
+
1
{\displaystyle F_{n+1}}
점화식 은 오일러 피 함수 를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
|
F
n
+
1
|
=
|
F
n
|
+
φ
(
n
+
1
)
{\displaystyle |F_{n+1}|=|F_{n}|+\varphi (n+1)}
즉,
|
F
n
|
{\displaystyle |F_{n}|}
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
계차수열 이고
|
F
1
|
=
2
{\displaystyle |F_{1}|=2}
시그마 기호를 사용하여
|
F
n
|
{\displaystyle |F_{n}|}
|
F
n
|
=
1
+
∑
m
=
1
n
φ
(
m
)
{\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)}
페리 수열
F
n
{\displaystyle F_{n}}
h
1
/
k
1
,
h
2
/
k
2
{\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}}
k
1
h
2
−
k
2
h
1
=
1
{\displaystyle k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1}
따라서 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현할 수 있다.
h
2
k
2
−
h
1
k
1
=
k
1
h
2
−
k
2
h
1
k
1
k
2
=
1
k
1
k
2
{\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}-{\frac {h_{1}}{k_{1}}}={\frac {k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}}{k_{1}k_{2}}}={\frac {1}{k_{1}k_{2}}}}
연속된 세 항을 차례대로
h
1
/
k
1
,
h
2
/
k
2
,
h
3
/
k
3
{\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}}
h
2
k
2
=
h
1
+
h
3
k
1
+
k
3
{\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}}
이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다.
h
1
/
k
1
,
h
2
/
k
2
,
h
3
/
k
3
{\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}}
h
1
/
k
1
,
h
2
/
k
2
{\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}}
h
2
/
k
2
,
h
3
/
k
3
{\displaystyle h_{2}/k_{2},h_{3}/k_{3}}
k
1
h
2
−
k
2
h
1
=
1
{\displaystyle k_{1}h_{2}-k_{2}h_{1}=1}
k
2
h
3
−
k
3
h
2
=
1
{\displaystyle k_{2}h_{3}-k_{3}h_{2}=1}
(1)
×
h
3
{\displaystyle \times h_{3}}
+
{\displaystyle +}
×
h
1
{\displaystyle \times h_{1}}
×
k
3
{\displaystyle \times k_{3}}
+
{\displaystyle +}
×
k
1
{\displaystyle \times k_{1}}
h
1
+
h
3
=
h
2
(
k
1
h
3
−
h
1
k
3
)
{\displaystyle h_{1}+h_{3}=h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}
k
1
+
k
3
=
k
2
(
k
1
h
3
−
h
1
k
3
)
{\displaystyle k_{1}+k_{3}=k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}
따라서,
h
1
+
h
3
k
1
+
k
3
=
h
2
(
k
1
h
3
−
h
1
k
3
)
k
2
(
k
1
h
3
−
h
1
k
3
)
=
h
2
k
2
{\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}={\frac {h_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}{k_{2}(k_{1}h_{3}-h_{1}k_{3})}}={\frac {h_{2}}{k_{2}}}}
물론, 후자의 성질에서 전자의 성질을 유도하는 것 역시 가능하다.[1]
한편, 페리 수열의 인접한 두 항
h
1
/
k
1
,
h
2
/
k
2
{\displaystyle h_{1}/k_{1},h_{2}/k_{2}}
h
1
+
h
2
k
1
+
k
2
{\displaystyle {\frac {h_{1}+h_{2}}{k_{1}+k_{2}}}}
의 분모
k
1
+
k
2
{\displaystyle k_{1}+k_{2}}
n
{\displaystyle n}
k
1
+
k
2
>
n
{\displaystyle k_{1}+k_{2}>n}
또한 인접한 두 항의 중앙값은
k
1
+
k
2
{\displaystyle k_{1}+k_{2}}
F
k
1
+
k
2
{\displaystyle F_{k_{1}+k_{2}}}
(
h
1
k
1
,
h
2
k
2
)
{\displaystyle \left({\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}}\right)}
사이에 존재하게 된다.
n =1…8까지의 페리 수열은 다음과 같다.
F 1 = {0/1, 1/1}F 2 = {0/1, 1/2, 1/1}F 3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}F 4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}F 5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}F 6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1}F 7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}F 8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}
1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로(영어 : Charles Haros )가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세(영어 : John Farey, Sr. )가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 오귀스탱 루이 코시 가 증명하였다.
