프라임 제타 함수

수학에서 프라임 제타 함수(Prime zeta function)는 리만 제타 함수의 유형으로 글레이셔(Glaisher,1891)가 연구했다.

소수 제타 함수이다.

이것은 다음의 무한 수열로 정의된다.

$P(n)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primes} }{\frac {1}{p^{n}}}$

$P(n)=\sum _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{p^{n}}}={\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{5^{n}}}+{\frac {1}{7^{n}}}+{\frac {1}{11^{n}}}+\ldots$

$\sum _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{p^{2}}}=0{,}45224742004106549850654336483224793417323134323989\dots$

이것은 다음의 리만 제타 함수를 재정의할때에도 사용된다.

$log\zeta (s)=\sum _{n>0}{{P(ns)} \over {n}}$

이것은 다음의 뫼비우스 함수로도 정의된다.

${P(s)}=\sum _{n>0}{\mu (n)}{{log\zeta (ns)} \over {n}}$

프라임 제타 함수 수치

$P(1)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\ldots =\infty$

${P(2)}$ = 0.452247420041065498506543364832247934173231343 (Folge A085548 in OEIS)

${P(3)}$ = 0.174762639299443536423113314665706700975412121 (Folge A085541 in OEIS)

${P(4)}$ = 0.076993139764246844942619295933157870162041059 (Folge A085964 in OEIS)

같이 보기

• 펠러-토르니어 상수
• 알틴 상수
• 뤼카 수
• 오일러의 곱셈 공식
• 글레이셔-킨켈린 상수

참고

• Merrifield, C. W. (1881). “The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers”. 《Proceedings of the Royal Society》 33: 4–10. doi:10.1098/rspl.1881.0063. JSTOR 113877. 
• Fröberg, Carl-Erik (1968). “On the prime zeta function”. 《Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT)》 8 (3): 187–202. doi:10.1007/BF01933420. MR 0236123. 
• Glaisher, J. W. L. (1891). “On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers”. 《Quart. J. Math.》 25: 347–362. 
• Mathar, Richard J. (2008). “Twenty digits of some integrals of the prime zeta function”. arXiv:0811.4739. 
• Li, Ji (2008). “Prime graphs and exponential composition of species”. 《J. Combin. Theory A》 115: 1374—1401. doi:10.1016/j.jcta.2008.02.008. MR 2455584. 
• Mathar, Richard J. (2010). “Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli”. arXiv:1008.2547.