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군론에서, 프로베니우스 군(Frobenius群, 영어: Frobenius group)은 어떤 두 부분군의 반직접곱으로 나타내어지고, 군 표현론이 이 두 부분군으로 인해 완전히 결정되는 유한군이다.

목차

정의편집

유한군  가 어떤 유한 집합   위에 다음 조건을 만족시키는 작용을 갖는다면,  프로베니우스 군이라고 한다.

  •  는 두 개 이상의 원소를 갖는다.
  • 추이적 작용이다.
  • 임의의  에 대하여, 만약  이라면  이다.
  •  이며    가 존재한다.

프로베니우스 군  의 원소들 가운데, 어떤 한 점  안정자군   프로베니우스 여군(-餘群, 영어: Frobenius complement)  이라고 한다. (이러한 군들은 모두 서로 켤레 동형이다.) 주어진 프로베니우스 여군  에 대하여, 프로베니우스 핵(-核, 영어: Frobenius kernel)  은 다음과 같은 원소들로 구성된 정규 부분군이다. (이러한 부분 집합은 항상 정규 부분군을 이룸을 보일 수 있다.)

  •  

프로베니우스 핵은 프로베니우스 여군의 선택에 의존하지 않는다. 이에 따라,  는 프로베니우스 핵과 프로베니우스 여군의 반직접곱이다.

 

주어진 유한군  에 대하여,  가 프로베니우스 군이 되게 하는 작용들은 모두 서로 동형이다.

성질편집

프로베니우스 군  의 프로베니우스 핵이  이며, 프로베니우스 여군이  라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  •  멱영군이다.
  • 만약  의 크기가 짝수라면,  아벨 군이다.
  •  의 임의의 부분군  에 대하여, 만약  의 크기가 두 소수의 곱이라면,  순환군이다.

표현편집

프로베니우스 군  의 프로베니우스 핵이  이며, 프로베니우스 여군이  라고 하자. 그렇다면  의 복소수 기약 표현들은 다음 두 종류 가운데 하나이다.

  •  의 복소수 기약 표현  에 대하여,  라면   의 복소수 기약 표현이다.
  •  의 복소수 기약 표현  에 대하여, 만약  가 자명한 1차원 표현이 아니라면,  에 대한 유도 표현 역시  의 복소수 기약 표현이다.

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대표적인 프로베니우스 군의 예로는 다음을 들 수 있다.

군의 크기 작용하는 집합의 크기 프로베니우스 핵 프로베니우스 여군
  6 3    
         
         
 ,  는 아벨 군        

역사편집

참고 문헌편집

외부 링크편집