프로베니우스 군

군론에서 프로베니우스 군(Frobenius群, 영어: Frobenius group)은 어떤 두 부분군의 반직접곱으로 나타내어지고, 군 표현론이 이 두 부분군으로 인해 완전히 결정되는 유한군이다.

정의

유한군 $G$가 어떤 유한 집합 $S$ 위에 다음 조건을 만족시키는 작용을 갖는다면, $G$를 프로베니우스 군이라고 한다.

• $S$는 두 개 이상의 원소를 갖는다.
• 추이적 작용이다.
• 임의의 $g\in G$에 대하여, 만약 $g\neq 1$이라면 $|\{s\in S\colon gs=s\}|\leq 1$이다.
• $gs=s$이며 $g\neq 1$인 $g\in G$ 및 $s\in S$가 존재한다.

프로베니우스 군 $G$의 원소들 가운데, 어떤 한 점 $s\in S$의 안정자군 $S_{x}$를 $G$의 프로베니우스 여군(-餘群, 영어: Frobenius complement) $H\leq G$이라고 한다. (이러한 군들은 모두 서로 켤레 동형이다.) 주어진 프로베니우스 여군 $H\leq G$에 대하여, 프로베니우스 핵(-核, 영어: Frobenius kernel) $K{\underline {\vartriangleleft }}G$은 다음과 같은 원소들로 구성된 정규 부분군이다. (이러한 부분 집합은 항상 정규 부분군을 이룸을 보일 수 있다.)

• $K=\{1\}\cup \left(G\setminus \bigcup _{g\in G}gHg^{-1}\right)$

프로베니우스 핵은 프로베니우스 여군의 선택에 의존하지 않는다. 이에 따라, $G$는 프로베니우스 핵과 프로베니우스 여군의 반직접곱이다.

$G=K\rtimes H$

주어진 유한군 $G$에 대하여, $G$가 프로베니우스 군이 되게 하는 작용들은 모두 서로 동형이다.

성질

프로베니우스 군 $G$의 프로베니우스 핵이 $K$이며, 프로베니우스 여군이 $H$라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

• $K$는 멱영군이다.
• 만약 $H$의 크기가 짝수라면, $K$는 아벨 군이다.
• $H$의 임의의 부분군 $A\leq H$에 대하여, 만약 $A$의 크기가 두 소수의 곱이라면, $A$는 순환군이다.

표현

프로베니우스 군 $G$의 프로베니우스 핵이 $K$이며, 프로베니우스 여군이 $H$라고 하자. 그렇다면 $G$의 복소수 기약 표현들은 다음 두 종류 가운데 하나이다.

• $H$의 복소수 기약 표현 $\rho \colon H\to \operatorname {GL} (V)$에 대하여, $q\colon G\to G/K\cong H$라면 $\rho \circ q\colon G\to \operatorname {GL} (V)$는 $G$의 복소수 기약 표현이다.
• $K$의 복소수 기약 표현 $\rho \colon K\to \operatorname {GL} (V)$에 대하여, 만약 $\rho$가 자명한 1차원 표현이 아니라면, $\rho$에 대한 유도 표현 역시 $G$의 복소수 기약 표현이다.

예

대표적인 프로베니우스 군의 예로는 다음을 들 수 있다.

군	군의 크기	작용하는 집합의 크기	프로베니우스 핵	프로베니우스 여군
$\operatorname {Sym} (3)$	6	3	$\operatorname {Cyc} (3)$	$\operatorname {Cyc} (2)$
$\operatorname {Dih} (2n+1)$	$4n+2$	$2n+1$	$\operatorname {Cyc} (n)$	$\operatorname {Cyc} (2)$
$\operatorname {IGL} _{1}(\mathbb {F} _{p^{n}})$	$(p^{n}-1)p^{n}$	$p^{n}$	$\mathbb {F} _{p^{n}}\cong \operatorname {Cyc} (p)^{\oplus n}$	$\mathbb {F} _{p^{n}}^{\times }\cong \operatorname {Cyc} (p^{n}-1)$
$K\rtimes _{\phi }(\mathbb {Z} /2),\;\phi (1)\colon k\mapsto -k$, $K$는 아벨 군	$2|K|$	$|K|$	$K$	$\mathbb {Z} /2=\operatorname {Cyc} (2)$

역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다.

참고 문헌

• Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001. 

외부 링크

• (영어) “Frobenius group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.