프로인드-루빈 콤팩트화

이론물리학에서 프로인드-루빈 콤팩트화(Freund-Rubin compact化, 영어: Freund–Rubin compactification)는 미분 형식 전기역학을 물질로 갖는 일반 상대성 이론의 시공간이 자연스럽게 갖는, 초구와 반 더 시터르 공간의 곱공간의 꼴의 해이다.

전개

$D$차원 시공간 위에, 일반 상대성 이론과 $p$차 형식 게이지 장이 존재한다고 하자. 즉, 장 방정식은 다음과 같다.

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=8\pi GT_{\mu \nu }$

$\nabla _{\mu _{1}}F^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}=0$

$T_{\mu _{p}}{}^{\nu _{p}}=F_{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}F^{\nu _{1}\nu _{2}\cdots \nu _{p}}-{\frac {1}{2p}}F_{\rho _{1}\rho _{1}\cdots \rho _{p}}F^{\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p}}\delta _{\mu _{p}}^{\nu _{p}}$

이 경우, 공간

$\mathbb {S} ^{p}\times \operatorname {AdS} _{D-p}$

위에 다음과 같은 장론의 해를 정의할 수 있다. (여기서 $\mathbb {S} ^{p}$는 $p$차원 초구이며, $\operatorname {AdS} _{D-p}$는 $D-p$차원 반 더 시터르 공간이다.)

$R_{D-p}=-8\pi G{\frac {(s-1)(d-s)}{(d-2)}}$

$R_{p}=8\pi G{\frac {(d-s-1)}{(d-2)}}$

$F^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{p}}\propto \epsilon _{\mathbb {S} ^{p}}^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{s}}$

여기서 $\epsilon _{\mathbb {S} ^{p}}^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{s}}$는 초구 $\mathbb {S} ^{p}$의 레비치비타 기호이며, $R_{p}$는 초구 $\mathbb {S} ^{p}$의 스칼라 곡률, $R_{D-p}$는 $\operatorname {AdS} _{D-p}$의 스칼라 곡률이다. 이를 프로인드-루빈 콤팩트화라고 한다.

S-이중성에 의하여, $p$차 장세기를 $D-p$차 장세기 ${\tilde {F}}=*F$로 쌍대화할 수 있으며, 이에 대한 프로인드-루빈 콤팩트화는 반대로 $\mathbb {S} ^{D-p}\times \operatorname {AdS} _{p}$가 된다.

예

11차원 초중력은 3차 형식 퍼텐셜 $A_{\mu \nu \rho }$ (즉, 4차 형식 장세기 $F_{\mu \nu \rho \sigma }$)을 가지며, 따라서 이 이론은 자연스럽게 $\mathbb {S} ^{4}\times \operatorname {AdS} _{7}$ 또는 $\mathbb {S} ^{7}\times \operatorname {AdS} _{4}$로 콤팩트화된다.

마찬가지로, 10차원 IIB 초중력은 자연스럽게 $\mathbb {S} ^{5}\times \operatorname {AdS} _{5}$로 콤팩트화된다.

이 세 콤팩트화들은 AdS/CFT 대응성에 핵심적으로 등장하며, 각각 M5-막 · M2-막 · D3-막에 대응한다.

역사

루마니아 태생의 물리학자 피터 조지 올리버 프로인드(영어: Peter George Oliver Freund, 루마니아어: Peter George Oliver Freund 페테르 제오르제 올리베르 프레운드^[*], 1936~)와 미국의 마크 루빈(영어: Mark A. Rubin)이 1980년에 도입하였다.